미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{11 x^{2}}{\sqrt{4 + x^{3}}}$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = \frac{11 x^{2}}{\sqrt{4 + x^{3}}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int \frac{11 x^{2}}{\sqrt{4 + x^{3}}} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{11 x^{2}}{\sqrt{4 + x^{3}}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$11$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $11$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 11 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{4 + x^{3}}} d x$

단계 2.3.2

먼저 $u = 4 + x^{3}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 x^{2} d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.3.2.1

$u = 4 + x^{3}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.3.2.1.1

$4 + x^{3}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 + x^{3}]$

단계 2.3.2.1.2

합의 법칙에 의해 $4 + x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.3.2.1.3

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.3.2.1.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 3 x^{2}$

단계 2.3.2.1.5

$0$ 를 $3 x^{2}$ 에 더합니다.

$3 x^{2}$

단계 2.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = 11 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.3.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = 11 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

단계 2.3.3.2

$\sqrt{u}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$y + C_{1} = 11 \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

단계 2.3.4

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 11 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

단계 2.3.5

분수를 통분합니다.

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단계 2.3.5.1

$\frac{1}{3}$ 와 $11$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{11}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 2.3.5.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.3.5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{11}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 2.3.5.2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$y + C_{1} = \frac{11}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 2.3.5.2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.5.2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{11}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 2.3.5.2.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{11}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 2.3.5.2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + C_{1} = \frac{11}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 2.3.6

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = \frac{11}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

단계 2.3.7

간단히 합니다.

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단계 2.3.7.1

$\frac{11}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ 을 $\frac{11}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{11}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2

간단히 합니다.

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단계 2.3.7.2.1

$\frac{11}{3}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{11 \cdot 2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.2

$11$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{22}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.8

$u$ 를 모두 $4 + x^{3}$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = \frac{22}{3} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = \frac{22}{3} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + K$