미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y^{2}}$ , $y (2) = \sqrt[3]{15}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{3}}{y^{2}}$

단계 1.2

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{3}}{y^{2}}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{3}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$y^{2} d y = x^{3} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y^{2} d y = \int x^{3} d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{3} d x$

단계 2.3

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{4} x^{4} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $3$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

단계 3.2.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$y^{3} = 3 (\frac{x^{4}}{4} + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{3} = 3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$

단계 3.2.2.1.3

$3$ 와 $\frac{x^{4}}{4}$ 을 묶습니다.

$y^{3} = \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

단계 3.4

$\sqrt[3]{\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

$\frac{3 x^{4}}{4}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K}$

단계 3.4.1.2

$3 K$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K}$

단계 3.4.1.3

$3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + K)}$

단계 3.4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $K$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

단계 3.4.3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$K$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

단계 3.4.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

단계 3.4.4

$K$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4} + 4 K}{4}}$

단계 3.4.5

$3$ 와 $\frac{x^{4} + 4 K}{4}$ 을 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x^{4} + 4 K)}{4}}$

단계 3.4.6

$\sqrt[3]{\frac{3 (x^{4} + 4 K)}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

단계 3.4.7

$\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

단계 3.4.8

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.8.1

$\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

단계 3.4.8.2

$\sqrt[3]{4}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

단계 3.4.8.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

단계 3.4.8.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

단계 3.4.8.5

${\sqrt[3]{4}}^{3}$ 을 $4$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.8.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{4}$ 을(를) $4^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

단계 3.4.8.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

단계 3.4.8.5.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

단계 3.4.8.5.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.8.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

단계 3.4.8.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

단계 3.4.8.5.5

지수값을 계산합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

단계 3.4.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.9.1

${\sqrt[3]{4}}^{2}$ 을 $\sqrt[3]{4^{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

단계 3.4.9.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

단계 3.4.9.3

$16$ 을 $2^{3} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.9.3.1

$16$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

단계 3.4.9.3.2

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

단계 3.4.9.4

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

단계 3.4.9.5

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.9.5.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

단계 3.4.9.5.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{4}$

단계 3.4.10

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.10.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

단계 3.4.10.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

단계 3.4.10.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$

단계 5

초기 조건을 활용하여 $y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$ 에서 $x$ 에 $2$ 을, $y$ 에 $\sqrt[3]{15}$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$\sqrt[3]{15} = \frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2}$

단계 6

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} = \sqrt[3]{15}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} = \sqrt[3]{15}$

단계 6.2

양변에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

단계 6.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1

$\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} \cdot 2$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.1

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt[3]{6 (16 + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

단계 6.3.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt[3]{6 (16 + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

단계 6.3.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt[3]{6 (16 + K)} = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

단계 6.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$\sqrt[3]{15}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\sqrt[3]{6 (16 + K)} = 2 \sqrt[3]{15}$

단계 6.4

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 세제곱합니다.

${\sqrt[3]{6 (16 + K)}}^{3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

단계 6.4.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{6 (16 + K)}$ 을(를) ${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

단계 6.4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.2.1

${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.2.1.1

${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

단계 6.4.2.2.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

단계 6.4.2.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(6 (16 + K))}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

단계 6.4.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

${(6 \cdot 16 + 6 K)}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

단계 6.4.2.2.1.3

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.2.1.3.1

$6$ 에 $16$ 을 곱합니다.

${(96 + 6 K)}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

단계 6.4.2.2.1.3.2

간단히 합니다.

$96 + 6 K = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

단계 6.4.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.3.1

${(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.3.1.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.3.1.1.1

$2 \sqrt[3]{15}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$96 + 6 K = 2^{3} {\sqrt[3]{15}}^{3}$

단계 6.4.2.3.1.1.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$96 + 6 K = 8 {\sqrt[3]{15}}^{3}$

단계 6.4.2.3.1.2

${\sqrt[3]{15}}^{3}$ 을 $15$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{15}$ 을(를) $15^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$96 + 6 K = 8 {(15^{\frac{1}{3}})}^{3}$

단계 6.4.2.3.1.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

단계 6.4.2.3.1.2.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{3}{3}}$

단계 6.4.2.3.1.2.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.3.1.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{3}{3}}$

단계 6.4.2.3.1.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{1}$

단계 6.4.2.3.1.2.5

지수값을 계산합니다.

$96 + 6 K = 8 \cdot 15$

단계 6.4.2.3.1.3

$8$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$96 + 6 K = 120$

단계 6.4.3

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.3.1

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.3.1.1

방정식의 양변에서 $96$ 를 뺍니다.

$6 K = 120 - 96$

단계 6.4.3.1.2

$120$ 에서 $96$ 을 뺍니다.

$6 K = 24$

단계 6.4.3.2

$6 K = 24$ 의 각 항을 $6$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.3.2.1

$6 K = 24$ 의 각 항을 $6$ 로 나눕니다.

$\frac{6 K}{6} = \frac{24}{6}$

단계 6.4.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.3.2.2.1

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 K}{6} = \frac{24}{6}$

단계 6.4.3.2.2.1.2

$K$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$K = \frac{24}{6}$

단계 6.4.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.3.2.3.1

$24$ 을 $6$ 로 나눕니다.

$K = 4$

단계 7

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$ 의 $K$ 에 $4$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$K$ 에 $4$ 를 대입합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + 4)}}{2}$