미적분 예제

$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = 0$

단계 1

$v = \frac{d y}{d x}$ 로 두면 $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 입니다. $v$ 를 $\frac{d y}{d x}$ 에 대입하고, $\frac{d v}{d x}$ 를 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 에 대입하여 종속 변수 $v$ 와 독립 변수 $x$ 로 미분 방정식을 구합니다.

$x \frac{d v}{d x} + v = 0$

단계 2

방정식 좌변이 $x v$ 항의 도함수 결과값인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = v$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [v] + v \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [v]$ 을 $v'$ 로 바꿔 씁니다.

$x v' + v \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x v' + v \cdot 1$

단계 2.4

$v'$ 에 $\frac{d v}{d x}$ 를 대입합니다.

$x \frac{d v}{d x} + v \cdot 1$

단계 2.5

$v$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$x \frac{d v}{d x} + 1 \cdot v$

단계 2.6

$v$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x \frac{d v}{d x} + v$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x v] = 0$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int 0 d x$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$x v = \int 0 d x$

단계 6

우변을 적분합니다.

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단계 6.1

$0$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $0$ 입니다.

$x v = 0 + C_{1}$

단계 6.2

$0$ 를 $C_{1}$ 에 더합니다.

$x v = C_{1}$

단계 7

$x v = C_{1}$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$x v = C_{1}$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x v}{x} = \frac{C_{1}}{x}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x v}{x} = \frac{C_{1}}{x}$

단계 7.2.1.2

$v$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$v = \frac{C_{1}}{x}$

단계 8

$v$ 를 모두 $\frac{d y}{d x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{1}}{x}$

단계 9

식을 다시 씁니다.

$d y = \frac{C_{1}}{x} d x$

단계 10

양변을 적분합니다.

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단계 10.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int \frac{C_{1}}{x} d x$

단계 10.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{2} = \int \frac{C_{1}}{x} d x$

단계 10.3

우변을 적분합니다.

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단계 10.3.1

$C_{1}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $C_{1}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{2} = C_{1} \int \frac{1}{x} d x$

단계 10.3.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$y + C_{2} = C_{1} (\ln (| x |) + C_{3})$

단계 10.3.3

간단히 합니다.

$y + C_{2} = C_{1} \ln (| x |) + C_{4}$

단계 10.4

우변에 적분 상수를 $D$ 로 묶습니다.

$y = C \ln (| x |) + D$