미적분 예제

$(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ , $y (0) = 1$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ 의 각 항을 $1 + \sin^{2} (x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ 의 각 항을 $1 + \sin^{2} (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \sin^{2} (x)} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

단계 1.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$1 + \sin^{2} (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \sin^{2} (x)} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

단계 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

단계 1.2

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

단계 1.3

양변에 $\frac{1}{e^{- 2 y}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)})$

단계 1.4

$e^{- 2 y}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)})$

단계 1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$e^{- 2 y}$ 의 지수의 부호를 반대로 바꾸고 분모 밖으로 빼냅니다.

$\int 1 {(e^{- 2 y})}^{- 1} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

단계 2.2.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

${(e^{- 2 y})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int 1 e^{- 2 y \cdot - 1} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

단계 2.2.1.2.1.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\int 1 e^{2 y} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

단계 2.2.1.2.2

$e^{2 y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int e^{2 y} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

단계 2.2.2

먼저 $u_{1} = 2 y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d y$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$u_{1} = 2 y$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$2 y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [2 y]$

단계 2.2.2.1.2

$2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 y$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.2.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 2.2.2.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 2.2.2.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

단계 2.2.3

$e^{u_{1}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

단계 2.2.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

단계 2.2.5

$e^{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

단계 2.2.6

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

단계 2.2.7

$u_{1}$ 를 모두 $2 y$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

먼저 $u_{3} = 1 + \sin^{2} (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{3} = \sin (2 x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{3} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{3}$ 와 $d$ $u_{3}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$u_{3} = 1 + \sin^{2} (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{3}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.1

$1 + \sin^{2} (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

단계 2.3.1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + \sin^{2} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 2.3.1.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 2.3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.3.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$0 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 2.3.1.1.3.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 2.3.1.1.3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$0 + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 2.3.1.1.3.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$0 + 2 \sin (x) \cos (x)$

단계 2.3.1.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.4.1

$0$ 를 $2 \sin (x) \cos (x)$ 에 더합니다.

$2 \sin (x) \cos (x)$

단계 2.3.1.1.4.2

$2 \sin (x) \cos (x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$2 \cos (x) \sin (x)$

단계 2.3.1.1.4.3

$2 \cos (x)$ 와 $\sin (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\sin (x) (2 \cos (x))$

단계 2.3.1.1.4.4

$\sin (x)$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

단계 2.3.1.1.4.5

사인 배각 공식을 적용합니다.

$\sin (2 x)$

단계 2.3.1.2

$u_{3}$ 와 $d u_{3}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

단계 2.3.2

$\frac{1}{u_{3}}$ 를 $u_{3}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{3} |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \ln (| u_{3} |) + C_{2}$

단계 2.3.3

$u_{3}$ 를 모두 $1 + \sin^{2} (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} e^{2 y} = \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y}) = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 y}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{2 y} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{2 y} = 2 \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + 2 C$

단계 3.3

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

단계 3.4

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$2 y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{2 y})$ 을 전개합니다.

$2 y \ln (e) = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

단계 3.4.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$2 y \cdot 1 = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

단계 3.4.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 y = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

단계 3.5

$2$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2})$ 을 전개합니다.

$2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$

단계 3.6

$2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

단계 3.6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

단계 3.6.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$

단계 5

초기 조건을 활용하여 $y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $1$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$1 = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2}$

단계 6

$C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 1$

단계 6.2

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 2 \cdot 1$

단계 6.3

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1

$2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 2 \cdot 1$

단계 6.3.1.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C) = 2 \cdot 1$

단계 6.3.1.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.2.1.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\ln (2 \ln (1 + 0^{2}) + C) = 2 \cdot 1$

단계 6.3.1.1.2.1.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\ln (2 \ln (1 + 0) + C) = 2 \cdot 1$

단계 6.3.1.1.2.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\ln (2 \ln (1) + C) = 2 \cdot 1$

단계 6.3.1.1.2.3

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$\ln (2 \cdot 0 + C) = 2 \cdot 1$

단계 6.3.1.1.2.4

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\ln (0 + C) = 2 \cdot 1$

단계 6.3.1.1.3

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$\ln (C) = 2 \cdot 1$

단계 6.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (C) = 2$

단계 6.4

$C$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (C)} = e^{2}$

단계 6.5

로그의 정의를 이용하여 $\ln (C) = 2$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{2} = C$

단계 6.6

$C = e^{2}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$C = e^{2}$

단계 7

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$ 의 $C$ 에 $e^{2}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$C$ 에 $e^{2}$ 를 대입합니다.

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}{2}$

단계 7.2

$\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}{2}$ 을 $\frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$

단계 7.3

$\frac{1}{2}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$ 을 간단히 합니다.

$y = \ln ({(2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}^{\frac{1}{2}})$

단계 7.4

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (1 + \sin^{2} (x))$ 을 간단히 합니다.

$y = \ln ({(\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + e^{2})}^{\frac{1}{2}})$