미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = x (y^{2} + 1)$

단계 1

변수를 분리합니다.

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단계 1.1

양변에 $\frac{1}{y^{2} + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (x (y^{2} + 1))$

단계 1.2

$y^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

$x (y^{2} + 1)$ 에서 $y^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) x)$

단계 1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) x)$

단계 1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = x d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int x d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1.1

$y^{2}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int x d x$

단계 2.2.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int x d x$

단계 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\arctan (y) + C_{1}$ 입니다.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x d x$

단계 2.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\arctan (y) = \frac{1}{2} x^{2} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

방정식의 양변에서 역 아크탄젠트를 취하여 아크탄젠트 안의 $y$ 을 꺼냅니다.

$y = \tan (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

단계 3.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y = \tan (\frac{x^{2}}{2} + K)$