미적분 예제

$x^{2} \sin (x) d x + x (y d) y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $x^{2} \sin (x) d x$ 를 뺍니다.

$x y d y = - x^{2} \sin (x) d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x} (x (y)) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

단계 3.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

단계 3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$y d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y d y = - \frac{1}{x} (x^{2} \sin (x)) d x$

단계 3.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- \frac{1}{x}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y d y = \frac{- 1}{x} (x^{2} \sin (x)) d x$

단계 3.3.2

$x^{2} \sin (x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y d y = \frac{- 1}{x} (x (x \sin (x))) d x$

단계 3.3.3

공약수로 약분합니다.

$y d y = \frac{- 1}{x} (x (x \sin (x))) d x$

단계 3.3.4

수식을 다시 씁니다.

$y d y = - (x \sin (x)) d x$

$y d y = - x \sin (x) d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y d y = \int - x \sin (x) d x$

단계 4.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x \sin (x) d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x \sin (x) d x$

단계 4.3.2

$u = x$ 이고 $d v = \sin (x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

단계 4.3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

단계 4.3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

단계 4.3.4.2

$\int \cos (x) d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

단계 4.3.5

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\sin (x)$ 입니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2})$

단계 4.3.6

$- (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2})$ 을 $- (- x \cos (x) + \sin (x)) + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + K$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

단계 5.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

단계 5.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

단계 5.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

단계 5.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 2 (- (- x \cos (x)) - \sin (x) + K)$

단계 5.2.2.1.1.2

$- (- x \cos (x))$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y^{2} = 2 (1 (x \cos (x)) - \sin (x) + K)$

단계 5.2.2.1.1.2.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} = 2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)$

단계 5.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K$

단계 5.2.2.1.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y^{2} = 2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K$

단계 5.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K}$

단계 5.4

$2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$2 x \cos (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) - 2 \sin (x) + 2 K}$

단계 5.4.2

$- 2 \sin (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K}$

단계 5.4.3

$2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K}$

단계 5.4.4

$2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x))$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x)) + 2 K}$

단계 5.4.5

$2 (x \cos (x) - \sin (x)) + 2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

단계 5.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

단계 5.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

단계 5.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$