미적분 예제

$(2 x y - 3 x^{2} y^{2}) d x + (x^{2} - 2 x^{3} y) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = 2 x y - 3 x^{2} y^{2}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - 3 x^{2} y^{2}]$

단계 1.2

합의 법칙에 의해 $2 x y - 3 x^{2} y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [2 x y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$2 x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 x y$ 의 미분은 $2 x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

단계 1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

단계 1.4

$\frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$- 3 x^{2}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 3 x^{2} y^{2}$ 의 미분은 $- 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 3 x^{2} (2 y)$

단계 1.4.3

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 6 x^{2} y$

단계 1.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 x^{2} y + 2 x$

단계 2

$N (x, y) = x^{2} - 2 x^{3} y$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x^{3} y]$

단계 2.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 2 x^{3} y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 2 y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{3} y$ 의 미분은 $- 2 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y (3 x^{2})$

단계 2.3.3

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 6 y x^{2}$

단계 2.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 x^{2} y + 2 x$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- 6 x^{2} y + 2 x$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- 6 x^{2} y + 2 x$ 을 대입합니다.

$- 6 x^{2} y + 2 x = - 6 x^{2} y + 2 x$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$- 6 x^{2} y + 2 x = - 6 x^{2} y + 2 x$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int 2 x y - 3 x^{2} y^{2} d x$

단계 5

$M (x, y) = 2 x y - 3 x^{2} y^{2}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int - 3 x^{2} y^{2} d x$

단계 5.2

$2 y$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2 y$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int - 3 x^{2} y^{2} d x$

단계 5.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 x^{2} y^{2} d x$

단계 5.4

$- 3 y^{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 3 y^{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 y^{2} \int x^{2} d x$

단계 5.5

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

단계 5.6

간단히 합니다.

$f (x, y) = 2 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

단계 5.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

단계 5.7.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

단계 5.7.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = 1 y x^{2} - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

단계 5.7.3

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = y x^{2} - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

단계 5.7.4

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = y x^{2} - 3 y^{2} \frac{x^{3}}{3} + C$

단계 5.7.5

$- 3$ 와 $\frac{x^{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} \frac{- 3 x^{3}}{3} + C$

단계 5.7.6

$y^{2}$ 와 $\frac{- 3 x^{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (- 3 x^{3})}{3} + C$

단계 5.7.7

$- 3$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.7.1

$y^{2} (- 3 x^{3})$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{3 (y^{2} (- x^{3}))}{3} + C$

단계 5.7.7.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.7.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{3 (y^{2} (- x^{3}))}{3 (1)} + C$

단계 5.7.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{3 (y^{2} (- x^{3}))}{3 \cdot 1} + C$

단계 5.7.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (- x^{3})}{1} + C$

단계 5.7.7.2.4

$y^{2} (- x^{3})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + C$

단계 6

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + g (y)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} - 2 x^{3} y$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

단계 8.2

합의 법칙에 의해 $y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

단계 8.3

$\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$x^{2}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $y x^{2}$ 의 미분은 $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

단계 8.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

단계 8.3.3

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

단계 8.4

$\frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1

$- x^{3}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $y^{2} (- x^{3})$ 의 미분은 $- x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$x^{2} - x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

단계 8.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} - x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

단계 8.4.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{2} - 2 x^{3} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

단계 8.5

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$x^{2} - 2 x^{3} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} - 2 x^{3} y$

단계 8.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} - 2 x^{3} y = x^{2} - 2 x^{3} y$

단계 9

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$\frac{d g}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

방정식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} - 2 x^{3} y = x^{2} - 2 x^{3} y - x^{2}$

단계 9.1.2

방정식의 양변에 $2 x^{3} y$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} - 2 x^{3} y - x^{2} + 2 x^{3} y$

단계 9.1.3

$x^{2} - 2 x^{3} y - x^{2} + 2 x^{3} y$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.1

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = - 2 x^{3} y + 0 + 2 x^{3} y$

단계 9.1.3.2

$- 2 x^{3} y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = - 2 x^{3} y + 2 x^{3} y$

단계 9.1.3.3

$- 2 x^{3} y$ 를 $2 x^{3} y$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = 0$

단계 10

$0$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$\frac{d g}{d y} = 0$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int 0 d y$

단계 10.3

$0$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $0$ 입니다.

$g (y) = 0 + C$

단계 10.4

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$g (y) = C$

단계 11

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + C$

단계 12

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f (x, y) = y x^{2} - y^{2} x^{3} + C$