미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \cos^{2} (\frac{y}{x})$

단계 1

$V = \frac{y}{x}$ 라고 두고, $V$ 를 $\frac{y}{x}$ 에 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = V + \cos^{2} (V)$

단계 2

$V = \frac{y}{x}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

$y = V x$

단계 3

곱의 미분 법칙을 사용해 $x$ 에 대하여 $y = V x$ 의 도함수를 구합니다.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

단계 4

$\frac{d y}{d x}$ 에 $x \frac{d V}{d x} + V$ 를 대입합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \cos^{2} (V)$

단계 5

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$\frac{d V}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1

$\frac{d V}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1.1

방정식의 양변에서 $V$ 를 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = V + \cos^{2} (V) - V$

단계 5.1.1.1.2

$V + \cos^{2} (V) - V$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1.2.1

$V$ 에서 $V$ 을 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \cos^{2} (V)$

단계 5.1.1.1.2.2

$0$ 를 $\cos^{2} (V)$ 에 더합니다.

$x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$

단계 5.1.1.2

$x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.2.1

$x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

단계 5.1.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.2.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

단계 5.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

단계 5.1.2

양변에 $\frac{1}{\cos^{2} (V)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (V)} \cdot \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

단계 5.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

조합합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (V)}{\cos^{2} (V) x}$

단계 5.1.3.2

$\cos^{2} (V)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (V)}{\cos^{2} (V) x}$

단계 5.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

단계 5.1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

단계 5.2

양변을 적분합니다.

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단계 5.2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 5.2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$\frac{1}{\cos^{2} (V)}$ 을 $\sec^{2} (V)$ 로 변환합니다.

$\int \sec^{2} (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 5.2.2.2

$\tan (V)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (V)$ 이므로, $\sec^{2} (V)$ 의 적분값은 $\tan (V)$ 이 됩니다.

$\tan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 5.2.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\tan (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

단계 5.2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\tan (V) = \ln (| x |) + C$

단계 5.3

탄젠트 안의 $V$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$V = \arctan (\ln (| x |) + C)$

단계 6

$V$ 에 $\frac{y}{x}$ 를 대입합니다.

$\frac{y}{x} = \arctan (\ln (| x |) + C)$

단계 7

$\frac{y}{x} = \arctan (\ln (| x |) + C)$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

양변에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{x} x = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

단계 7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{x} x = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

단계 7.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

단계 7.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$\arctan (\ln (| x |) + C) x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = x \arctan (\ln (| x |) + C)$