미적분 예제

$\frac{d w}{d t} = 10 e^{\frac{- t}{25}} - \frac{w}{25}$

단계 1

$\frac{d w}{d t} + M (t) w = Q (t)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에 $\frac{w}{25}$ 를 더합니다.

$\frac{d w}{d t} + \frac{w}{25} = 10 e^{\frac{- t}{25}}$

단계 1.2

방정식을 고립된 계수로 다시 씁니다.

$\frac{d w}{d t} + \frac{1}{25} w = 10 e^{\frac{- 1}{25} t}$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (t) d t}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (t) = \frac{1}{25}$ 입니다.

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단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{1}{25} d t}$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{\frac{1}{25} t + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{\frac{1}{25} t}$

단계 2.4

$\frac{1}{25}$ 와 $t$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{t}{25}}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $e^{\frac{t}{25}}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

각 항에 $e^{\frac{t}{25}}$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + e^{\frac{t}{25}} (\frac{1}{25} w) = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{1}{25} e^{\frac{t}{25}} w = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

단계 3.2.2

$\frac{1}{25}$ 와 $e^{\frac{t}{25}}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}}}{25} w = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

단계 3.2.3

$\frac{e^{\frac{t}{25}}}{25}$ 와 $w$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

단계 3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{\frac{t}{25}} e^{\frac{- 1}{25} t}$

단계 3.4

지수를 더하여 $e^{\frac{t}{25}}$ 에 $e^{\frac{- 1}{25} t}$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.1

$e^{\frac{- 1}{25} t}$ 를 옮깁니다.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 (e^{\frac{- 1}{25} t} e^{\frac{t}{25}})$

단계 3.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{\frac{- 1}{25} t + \frac{t}{25}}$

단계 3.4.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.4.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{- \frac{1}{25} t + \frac{t}{25}}$

단계 3.4.3.2

$t$ 와 $\frac{1}{25}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{- \frac{t}{25} + \frac{t}{25}}$

단계 3.4.4

$- \frac{t}{25}$ 를 $\frac{t}{25}$ 에 더합니다.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{0}$

단계 3.5

$10 e^{0}$ 을 간단히 합니다.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10$

단계 3.6

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{w e^{\frac{t}{25}}}{25} = 10$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} w] = 10$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} w] d t = \int 10 d t$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$e^{\frac{t}{25}} w = \int 10 d t$

단계 7

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$

단계 8

$e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$ 의 각 항을 $e^{\frac{t}{25}}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$ 의 각 항을 $e^{\frac{t}{25}}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{\frac{t}{25}} w}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$e^{\frac{t}{25}}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{\frac{t}{25}} w}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

단계 8.2.1.2

$w$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$w = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$