미적분 예제

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 4 x + 3$

단계 1

양변을 $x$ 에 대하여 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수가 $x$ 에 대한 2차 도함수의 적분과 같습니다.

$\frac{d y}{d x} = \int 4 x + 3 d x$

단계 1.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \int 4 x d x + \int 3 d x$

단계 1.3

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{d y}{d x} = 4 \int x d x + \int 3 d x$

단계 1.4

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) + \int 3 d x$

단계 1.5

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) + 3 x + C_{2}$

단계 1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{1}) + 3 x + C_{2}$

단계 1.6.2

간단히 합니다.

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} + 3 x + C_{3}$

단계 2

식을 다시 씁니다.

$d y = (2 x^{2} + 3 x + C_{3}) d x$

단계 3

양변을 적분합니다.

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단계 3.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int 2 x^{2} + 3 x + C_{3} d x$

단계 3.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{4} = \int 2 x^{2} + 3 x + C_{3} d x$

단계 3.3

우변을 적분합니다.

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단계 3.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{4} = \int 2 x^{2} d x + \int 3 x d x + \int C_{3} d x$

단계 3.3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{4} = 2 \int x^{2} d x + \int 3 x d x + \int C_{3} d x$

단계 3.3.3

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$y + C_{4} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5}) + \int 3 x d x + \int C_{3} d x$

단계 3.3.4

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{4} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5}) + 3 \int x d x + \int C_{3} d x$

단계 3.3.5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$y + C_{4} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + \int C_{3} d x$

단계 3.3.6

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{4} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + C_{3} x + C_{7}$

단계 3.3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.7.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.7.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$y + C_{4} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{5}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + C_{3} x + C_{7}$

단계 3.3.7.1.2

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{4} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{5}) + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C_{6}) + C_{3} x + C_{7}$

단계 3.3.7.2

간단히 합니다.

$y + C_{4} = \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + C_{3} x + C_{8}$

단계 3.3.7.3

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{4} = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + C_{3} x + C_{8}$

단계 3.4

우변에 적분 상수를 $D$ 로 묶습니다.

$y = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + C x + D$