미적분 예제

$e^{2 x} y^{2} d x + (e^{2 x} y - 2 y) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = e^{2 x} y^{2}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{2 x} y^{2}]$

단계 1.2

$e^{2 x}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $e^{2 x} y^{2}$ 의 미분은 $e^{2 x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{2 x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{2 x} (2 y)$

단계 1.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.4.1

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot e^{2 x} y$

단계 1.4.2

$2 e^{2 x} y$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y e^{2 x}$

단계 2

$N (x, y) = e^{2 x} y - 2 y$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x} y - 2 y]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $e^{2 x} y - 2 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $e^{2 x} y$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

단계 2.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

단계 2.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

단계 2.3.2.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

단계 2.3.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

단계 2.3.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

단계 2.3.6

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

단계 2.3.7

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

단계 2.4

$- 2 y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2 y$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x} + 0$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$2 y e^{2 x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x}$

단계 2.5.2

$2 y e^{2 x}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x} y$

단계 2.5.3

$2 e^{2 x} y$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x}$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 y e^{2 x}$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $2 y e^{2 x}$ 을 대입합니다.

$2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x}$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x}$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int e^{2 x} y - 2 y d y$

단계 5

$N (x, y) = e^{2 x} y - 2 y$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \int e^{2 x} y d y + \int - 2 y d y$

단계 5.2

$e^{2 x}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $e^{2 x}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = e^{2 x} \int y d y + \int - 2 y d y$

단계 5.3

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 2 y d y$

단계 5.4

$- 2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 2 \int y d y$

단계 5.5

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

단계 5.6

간단히 합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

단계 5.7

간단히 합니다.

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단계 5.7.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

단계 5.7.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

단계 5.7.3

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - 2 \frac{y^{2}}{2} + C$

단계 5.7.4

$- 2$ 와 $\frac{y^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{- 2 y^{2}}{2} + C$

단계 5.7.5

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.7.5.1

$- 2 y^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{2 (- y^{2})}{2} + C$

단계 5.7.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.7.5.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{2 (- y^{2})}{2 (1)} + C$

단계 5.7.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{2 (- y^{2})}{2 \cdot 1} + C$

단계 5.7.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{- y^{2}}{1} + C$

단계 5.7.5.2.4

$- y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - y^{2} + C$

단계 5.8

항을 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + C$

단계 6

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{2 x} y^{2}$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

단계 8.2

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

단계 8.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.3.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

단계 8.3.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

단계 8.3.3

$\frac{y^{2}}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}$ 의 미분은 $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 입니다.

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

단계 8.3.4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 8.3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

단계 8.3.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y^{2}}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

단계 8.3.4.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

단계 8.3.5

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

단계 8.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

단계 8.3.7

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

단계 8.3.8

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

단계 8.3.9

$2$ 와 $\frac{y^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 y^{2}}{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

단계 8.3.10

$\frac{2 y^{2}}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

단계 8.3.11

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.3.11.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

단계 8.3.11.2

$y^{2} e^{2 x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

단계 8.4

$- y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- y^{2}$ 입니다.

$y^{2} e^{2 x} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

단계 8.5

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$y^{2} e^{2 x} + 0 + \frac{d g}{d x} = e^{2 x} y^{2}$

단계 8.6

간단히 합니다.

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단계 8.6.1

$y^{2} e^{2 x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = e^{2 x} y^{2}$

단계 8.6.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2} = e^{2 x} y^{2}$

단계 8.6.3

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = e^{2 x} y^{2}$

단계 9

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1.1

$e^{2 x} y^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = y^{2} e^{2 x}$

단계 9.1.2

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 9.1.2.1

방정식의 양변에서 $y^{2} e^{2 x}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{2 x} - y^{2} e^{2 x}$

단계 9.1.2.2

$y^{2} e^{2 x}$ 에서 $y^{2} e^{2 x}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = 0$

단계 10

$0$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d x} = 0$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int 0 d x$

단계 10.3

$0$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $0$ 입니다.

$g (x) = 0 + C$

단계 10.4

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$g (x) = C$

단계 11

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + C$

단계 12

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + C$ 을 간단히 합니다.

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단계 12.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} - y^{2} + C$

단계 12.1.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - y^{2} + C$

단계 12.2

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - y^{2} + C$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 x}}{2} - y^{2} + C$