미적분 예제

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = y x^{4}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에 $\frac{y}{x}$ 를 더합니다.

$\frac{d y}{d x} = y x^{4} + \frac{y}{x}$

단계 1.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$y x^{4} + \frac{y}{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

$y x^{4}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4}) + \frac{y}{x}$

단계 1.2.1.2

$\frac{y}{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4}) + y \frac{1}{x}$

단계 1.2.1.3

$y (x^{4}) + y \frac{1}{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4} + \frac{1}{x})$

단계 1.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $x^{4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{4} x}{x} + \frac{1}{x})$

단계 1.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4} x + 1}{x}$

단계 1.2.4

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$x^{4}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4} x^{1} + 1}{x}$

단계 1.2.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4 + 1} + 1}{x}$

단계 1.2.4.2

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{5} + 1}{x}$

단계 1.3

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{5} + 1}{x})$

단계 1.4

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{5} + 1}{x})$

단계 1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{5} + 1}{x}$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

단계 2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5}}{x} + \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.3

$x^{5}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$x^{5}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.3.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.3.2.3

공약수로 약분합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.3.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{4}}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.3.2.5

$x^{4}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{4} d x + \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.4

멱의 법칙에 의해 $x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} x^{5}$ 가 됩니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.5

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + \ln (| x |) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = \frac{1}{5} x^{5} + \ln (| x |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$\frac{1}{5}$ 와 $x^{5}$ 을 묶습니다.

$\ln (| y |) = \frac{x^{5}}{5} + \ln (| x |) + C$

단계 3.2

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = \frac{x^{5}}{5} + C$

단계 3.3

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{x^{5}}{5} + C$

단계 3.4

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

단계 3.5

로그의 정의를 이용하여 $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{x^{5}}{5} + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{\frac{x^{5}}{5} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

단계 3.6

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

단계 3.6.2

양변에 $| x |$ 을 곱합니다.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

단계 3.6.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.1

$| x |$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

단계 3.6.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$| y | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

단계 3.6.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.4.1

$e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$| y | = | x | e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

단계 3.6.4.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm | x | e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$ 을 $e^{\frac{x^{5}}{5}} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm | x | (e^{\frac{x^{5}}{5}} e^{C})$

단계 4.2

$e^{\frac{x^{5}}{5}}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm | x | (e^{C} e^{\frac{x^{5}}{5}})$

단계 4.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C | x | e^{\frac{x^{5}}{5}}$