미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ that satisfies the initial condition $y (1) = 0$

단계 1

변수를 분리합니다.

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단계 1.1

양변에 $\frac{1}{y^{2} + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

단계 1.2

$y^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 1$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = 1 d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1.1

$y^{2}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

단계 2.2.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

단계 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\arctan (y) + C_{1}$ 입니다.

$\arctan (y) + C_{1} = \int d x$

단계 2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\arctan (y) = x + K$

단계 3

방정식의 양변에서 역 아크탄젠트를 취하여 아크탄젠트 안의 $y$ 을 꺼냅니다.

$y = \tan (x + K)$

단계 4

초기 조건을 활용하여 $y = \tan (x + K)$ 에서 $x$ 에 $1$ 을, $y$ 에 $0$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$0 = \tan (1 + K)$

단계 5

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$\tan (1 + K) = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\tan (1 + K) = 0$

단계 5.2

탄젠트 안의 $K$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$1 + K = \arctan (0)$

단계 5.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$\arctan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$1 + K = 0$

단계 5.4

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$K = - 1$

단계 5.5

탄젠트 함수는 제1사분면과 제3사분면에서 양의 값을 가집니다. 두번째 해를 구하려면 $π$ 에 기준각을 더하여 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$1 + K = π + 0$

단계 5.6

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.6.1

$π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1 + K = π$

단계 5.6.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$K = π - 1$

단계 5.7

$\tan (1 + K)$ 주기를 구합니다.

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단계 5.7.1

함수의 주기는 $\frac{π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{π}{| b |}$

단계 5.7.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{π}{| 1 |}$

단계 5.7.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{π}{1}$

단계 5.7.4

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 5.8

모든 음의 각에 $π$ 를 더하여 양의 각을 얻습니다.

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단계 5.8.1

$- 1$ 에 $π$ 를 더하여 양의 각도를 구합니다.

$- 1 + π$

단계 5.8.2

새 각을 나열합니다.

$K = - 1 + π$

단계 5.9

함수 $\tan (1 + K)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $K = - 1 + π + π n, π - 1 + π + π n$

단계 5.10

$- 1 + π + π n$ , $π - 1 + π + π n$ 를 $- 1 + π + π n$ 에 통합합니다.

$K = - 1 + π + π n$

단계 6

$y = \tan (x + K)$ 의 $K$ 에 $- 1 + π + π n$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$K$ 에 $- 1 + π + π n$ 를 대입합니다.

$y = \tan (x - 1 + π + π n)$