미적분 예제

$2 \frac{d y}{d x} = \frac{7 x^{3}}{y}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$y (2 \frac{d y}{d x}) = y \frac{7 x^{3}}{y}$

단계 1.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y (2 \frac{d y}{d x}) = y \frac{7 x^{3}}{y}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y (2 \frac{d y}{d x}) = 7 x^{3}$

단계 1.3

불필요한 괄호를 제거합니다.

$y \cdot 2 \frac{d y}{d x} = 7 x^{3}$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$y \cdot 2 d y = 7 x^{3} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y \cdot 2 d y = \int 7 x^{3} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int 2 y d y = \int 7 x^{3} d x$

단계 2.2.2

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int y d y = \int 7 x^{3} d x$

단계 2.2.3

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 7 x^{3} d x$

단계 2.2.4

답을 간단히 합니다.

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단계 2.2.4.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ 을 $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

단계 2.2.4.2

간단히 합니다.

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단계 2.2.4.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

단계 2.2.4.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

단계 2.2.4.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

단계 2.2.4.2.3

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$7$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $7$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y^{2} + C_{1} = 7 \int x^{3} d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$y^{2} + C_{1} = 7 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

단계 2.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$7 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ 을 $7 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y^{2} + C_{1} = 7 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

단계 2.3.3.2

$7$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$y^{2} + C_{1} = \frac{7}{4} x^{4} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y^{2} = \frac{7}{4} x^{4} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{7}{4} x^{4} + K}$

단계 3.2

$\pm \sqrt{\frac{7}{4} x^{4} + K}$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$\frac{7}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4}}{4} + K}$

단계 3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $K$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4}}$

단계 3.2.3

항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.3.1

$K$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4}}$

단계 3.2.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

단계 3.2.4

$K$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4} + 4 K}{4}}$

단계 3.2.5

$\frac{7 x^{4} + 4 K}{4}$ 을 ${(\frac{1}{2})}^{2} (7 x^{4} + 4 K)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1

$7 x^{4} + 4 K$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (7 x^{4} + 4 K)}{4}}$

단계 3.2.5.2

$4$ 에서 완전제곱인 $2^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (7 x^{4} + 4 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

단계 3.2.5.3

분수 $\frac{1^{2} (7 x^{4} + 4 K)}{2^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (7 x^{4} + 4 K)}$

단계 3.2.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{7 x^{4} + 4 K}$

단계 3.2.7

$\frac{1}{2}$ 와 $\sqrt{7 x^{4} + 4 K}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

단계 3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 3.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

단계 3.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

단계 3.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + K}}{2}$