미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{9 y^{2} - 4}$ , $y (2) = 0$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $9 y^{2} - 4$ 을 곱합니다.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{9 y^{2} - 4}$

단계 1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

$9 y^{2}$ 을 ${(3 y)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{{(3 y)}^{2} - 4}$

단계 1.2.1.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{{(3 y)}^{2} - 2^{2}}$

단계 1.2.1.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 3 y$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

단계 1.2.2

$9 y^{2} - 4$ 에 $\frac{6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$ 을 곱합니다.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(9 y^{2} - 4) (6 x^{2})}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

단계 1.2.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$9 y^{2}$ 을 ${(3 y)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{({(3 y)}^{2} - 4) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

단계 1.2.3.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{({(3 y)}^{2} - 2^{2}) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

단계 1.2.3.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 3 y$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y + 2) (3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

단계 1.2.4

$3 y + 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y + 2) (3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

단계 1.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{3 y - 2}$

단계 1.2.5

$3 y - 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{3 y - 2}$

단계 1.2.5.2

$6 x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$(9 y^{2} - 4) d y = 6 x^{2} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int 9 y^{2} - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 9 y^{2} d y + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

단계 2.2.2

$9$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $9$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$9 \int y^{2} d y + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

단계 2.2.3

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$9 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

단계 2.2.4

상수 규칙을 적용합니다.

$9 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

$\frac{1}{3}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$9 (\frac{y^{3}}{3} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

단계 2.2.5.2

간단히 합니다.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \int 6 x^{2} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 \int x^{2} d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$

단계 2.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$ 을 $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

단계 2.3.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

$6$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{4}$

단계 2.3.3.2.2

$6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{4}$

단계 2.3.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.2.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

단계 2.3.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

단계 2.3.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{4}$

단계 2.3.3.2.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 2 x^{3} + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$ 에서 $x$ 에 $2$ 을, $y$ 에 $0$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0 = 2 \cdot 2^{3} + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$2 \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$2 \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

지수를 더하여 $2$ 에 $2^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$2$ 에 $2^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$2^{1} \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

단계 4.2.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2^{1 + 3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

단계 4.2.1.2

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$2^{4} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

단계 4.2.2

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$16 + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

단계 4.3

$3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$16 + K = 3 \cdot 0 - 4 \cdot 0$

단계 4.3.1.2

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$16 + K = 0 - 4 \cdot 0$

단계 4.3.1.3

$- 4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$16 + K = 0 + 0$

단계 4.3.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$16 + K = 0$

단계 4.4

방정식의 양변에서 $16$ 를 뺍니다.

$K = - 16$

단계 5

$3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$ 의 $K$ 에 $- 16$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$K$ 에 $- 16$ 를 대입합니다.

$3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} - 16$