미적분 예제

$3 (x^{2} + y^{2}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = 3 (x^{2} + y^{2})$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 (x^{2} + y^{2})]$

단계 1.2

$3$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $3 (x^{2} + y^{2})$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

단계 1.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

단계 1.4

$x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

단계 1.5

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (2 y)$

단계 1.7

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y$

단계 2

$N (x, y) = x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y)$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y)]$

단계 2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2} + 6 y] + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3

미분합니다.

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단계 2.3.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.3

$3 y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3 y^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.4

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.5

$6 y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6 y$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + 0) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.6

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x^{1} x) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{1 + 1} + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{2} + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{2} + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \cdot 1$

단계 2.9

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 2.9.1

$x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{2} + x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$

단계 2.9.2

$2 x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $6 y$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ 을 대입합니다.

$6 y = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$6 y = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ 를 대입합니다.

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 4.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $6 y$ 를 대입합니다.

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)}{M}$

단계 4.3

$M$ 에 $3 (x^{2} + y^{2})$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.1

$M$ 에 $3 (x^{2} + y^{2})$ 를 대입합니다.

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

단계 4.3.2

$3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.2.1

$3 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (- 3 x^{2}) + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

단계 4.3.2.2

$3 y^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (- 3 x^{2}) - (- 3 y^{2}) + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

단계 4.3.2.3

$- (- 3 x^{2}) - (- 3 y^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2}) + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

단계 4.3.2.4

$6 y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2}) - (- 6 y) - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

단계 4.3.2.5

$- (- 3 x^{2} - 3 y^{2}) - (- 6 y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y) - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

단계 4.3.2.6

$- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y) - (6 y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

단계 4.3.2.7

$- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)$ 을 $- 1 (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

단계 4.3.2.8

$- 1 (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- 1 (- x^{2} - y^{2} - 2 y + 2 y))}{3 (x^{2} + y^{2})}$

단계 4.3.2.9

공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.2.9.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (- 1 (- x^{2} - y^{2} - 2 y + 2 y))}{3 (x^{2} + y^{2})}$

단계 4.3.2.9.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1 (- x^{2} - y^{2} - 2 y + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

단계 4.3.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.3.1

$- 2 y$ 를 $2 y$ 에 더합니다.

$\frac{- 1 (- x^{2} - y^{2} + 0)}{x^{2} + y^{2}}$

단계 4.3.3.2

$- x^{2} - y^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- 1 (- x^{2} - y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

단계 4.3.4

$- x^{2} - y^{2}$ 및 $x^{2} + y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.4.1

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (- (x^{2}) - y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

단계 4.3.4.2

$- y^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (- (x^{2}) - (y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

단계 4.3.4.3

$- (x^{2}) - (y^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (- (x^{2} + y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

단계 4.3.4.4

$- (x^{2} + y^{2})$ 을 $- 1 (x^{2} + y^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (- 1 (x^{2} + y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

단계 4.3.4.5

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1 (- 1 (x^{2} + y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

단계 4.3.4.6

$- 1 \cdot (- 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1 \cdot (- 1)$

단계 4.3.5

$- 1 \cdot (- 1)$ 을 $- (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$- (- 1)$

단계 4.3.6

$M$ 에 $3 (x^{2} + y^{2})$ 를 대입합니다.

$1$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

단계 5

적분 $e^{\int d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

상수 규칙을 적용합니다.

$μ (x, y) = e^{y + C}$

단계 5.2

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{y} + C$

단계 6

$3 (x^{2} + y^{2}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $e^{y}$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$3 (x^{2} + y^{2})$ 에 $e^{y}$ 을 곱합니다.

$3 (x^{2} + y^{2}) e^{y} d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(3 x^{2} + 3 y^{2}) e^{y} d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

단계 6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

단계 6.4

$x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y)$ 에 $e^{y}$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) e^{y} d y = 0$

단계 6.5

분배 법칙을 적용합니다.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x \cdot x^{2} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

단계 6.6

간단히 합니다.

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단계 6.6.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.6.1.1

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.6.1.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{1} x^{2} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

단계 6.6.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{1 + 2} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

단계 6.6.1.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

단계 6.6.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} + 3 x y^{2} + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

단계 6.6.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} + 3 x y^{2} + 6 x y) e^{y} d y = 0$

단계 6.7

분배 법칙을 적용합니다.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}) d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y} d x$

단계 8

$M (x, y) = 3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} e^{y} d x + \int 3 y^{2} e^{y} d x$

단계 8.2

$3 e^{y}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3 e^{y}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = 3 e^{y} \int x^{2} d x + \int 3 y^{2} e^{y} d x$

단계 8.3

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = 3 e^{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 3 y^{2} e^{y} d x$

단계 8.4

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = 3 e^{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 y^{2} e^{y} x + C$

단계 8.5

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = 3 e^{y} (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 y^{2} e^{y} x + C$

단계 8.6

간단히 합니다.

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + C$

단계 9

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

단계 11.3

$\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.3.1

$x^{3}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $e^{y} x^{3}$ 의 미분은 $x^{3} \frac{d}{d y} [e^{y}]$ 입니다.

$x^{3} \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

단계 11.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ 은 $a^{y} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} e^{y} + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

단계 11.4

$\frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.4.1

$3 x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $3 y^{2} e^{y} x$ 의 미분은 $3 x \frac{d}{d y} [y^{2} e^{y}]$ 입니다.

$x^{3} e^{y} + 3 x \frac{d}{d y} [y^{2} e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

단계 11.4.2

$f (y) = y^{2}$ , $g (y) = e^{y}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

단계 11.4.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ 은 $a^{y} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y} + e^{y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

단계 11.4.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y} + e^{y} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

단계 11.5

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y} + e^{y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

단계 11.6

간단히 합니다.

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단계 11.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y}) + 3 x (e^{y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

단계 11.6.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x e^{y} y + \frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

단계 11.6.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x^{3} + 3 e^{y} y^{2} x + 6 e^{y} x y = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

단계 11.6.4

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x^{3} + 3 e^{y} y^{2} x + 6 e^{y} x y$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} e^{y} + 3 y^{2} x e^{y} + 6 x y e^{y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

단계 12

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1

$\frac{d g}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 12.1.1

방정식의 양변에서 $x^{3} e^{y}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x e^{y} + 6 x y e^{y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y}$

단계 12.1.2

방정식의 양변에서 $3 y^{2} x e^{y}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} + 6 x y e^{y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y} - 3 y^{2} x e^{y}$

단계 12.1.3

방정식의 양변에서 $6 x y e^{y}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y} - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$

단계 12.1.4

$x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y} - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 12.1.4.1

$x^{3} e^{y}$ 에서 $x^{3} e^{y}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} + 0 - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$

단계 12.1.4.2

$3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$

단계 12.1.4.3

인수가 항 $3 x y^{2} e^{y}$ 과(와) $- 3 y^{2} x e^{y}$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} = 3 e^{y} y^{2} x + 6 x y e^{y} - 3 e^{y} y^{2} x - 6 x y e^{y}$

단계 12.1.4.4

$3 e^{y} y^{2} x$ 에서 $3 e^{y} y^{2} x$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = 6 x y e^{y} + 0 - 6 x y e^{y}$

단계 12.1.4.5

$6 x y e^{y}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = 6 x y e^{y} - 6 x y e^{y}$

단계 12.1.4.6

$6 x y e^{y}$ 에서 $6 x y e^{y}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = 0$

단계 13

$0$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d y} = 0$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int 0 d y$

단계 13.3

$0$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $0$ 입니다.

$g (y) = 0 + C$

단계 13.4

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$g (y) = C$

단계 14

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + C$

단계 15

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + C$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = x^{3} e^{y} + 3 y^{2} x e^{y} + C$