미적분 예제

$y (3 + 2 x y^{2}) d x + 3 (x^{2} y^{2} + x - 1) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = y (3 + 2 x y^{2})$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (3 + 2 x y^{2})]$

단계 1.2

$f (y) = y$ , $g (y) = 3 + 2 x y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [3 + 2 x y^{2}] + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

합의 법칙에 의해 $3 + 2 x y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.2

$3$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.4

$2 x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 x y^{2}$ 의 미분은 $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x (2 y)) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.4

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.5

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y^{1}) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{1 + 1} + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (3 + 2 x y^{2}) \cdot 1$

단계 1.9

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 1.9.1

$3 + 2 x y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + 3 + 2 x y^{2}$

단계 1.9.2

$4 x y^{2}$ 를 $2 x y^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + 3$

단계 1.9.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x + 3$

단계 2

$N (x, y) = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 (x^{2} y^{2} + x - 1)]$

단계 2.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + x - 1]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + x - 1]$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} y^{2} + x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.4

$y^{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x^{2} y^{2}$ 의 미분은 $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.6

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 \cdot y^{2} x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.8

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1 + 0)$

단계 2.9

$2 y^{2} x + 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1)$

단계 2.10

간단히 합니다.

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단계 2.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x) + 3 \cdot 1$

단계 2.10.2

항을 묶습니다.

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단계 2.10.2.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 (y^{2} x) + 3 \cdot 1$

단계 2.10.2.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + 3$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $6 y^{2} x + 3$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $6 y^{2} x + 3$ 을 대입합니다.

$6 y^{2} x + 3 = 6 y^{2} x + 3$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$6 y^{2} x + 3 = 6 y^{2} x + 3$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int y (3 + 2 x y^{2}) d x$

단계 5

$M (x, y) = y (3 + 2 x y^{2})$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$y$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $y$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = y \int 3 + 2 x y^{2} d x$

단계 5.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = y (\int 3 d x + \int 2 x y^{2} d x)$

단계 5.3

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = y (3 x + C + \int 2 x y^{2} d x)$

단계 5.4

$2 y^{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2 y^{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = y (3 x + C + 2 y^{2} \int x d x)$

단계 5.5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = y (3 x + C + 2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

단계 5.6

간단히 합니다.

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + C$

단계 6

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

단계 8.2

합의 법칙에 의해 $y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

단계 8.3

$\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.3.1

$f (y) = y$ , $g (y) = 3 x + y^{2} x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y \frac{d}{d y} [3 x + y^{2} x^{2}] + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

단계 8.3.2

합의 법칙에 의해 $3 x + y^{2} x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]$ 가 됩니다.

$y (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

단계 8.3.3

$3 x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $3 x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $3 x$ 입니다.

$y (0 + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

단계 8.3.4

$x^{2}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $y^{2} x^{2}$ 의 미분은 $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$y (0 + x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

단계 8.3.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (0 + x^{2} (2 y)) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

단계 8.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (0 + x^{2} (2 y)) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

단계 8.3.7

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y (0 + 2 \cdot x^{2} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

단계 8.3.8

$0$ 를 $2 x^{2} y$ 에 더합니다.

$y (2 x^{2} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

단계 8.3.9

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 x^{2} (y^{1} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

단계 8.3.10

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 x^{2} (y^{1} y^{1}) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

단계 8.3.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x^{2} y^{1 + 1} + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

단계 8.3.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 x^{2} y^{2} + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

단계 8.3.13

$3 x + y^{2} x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x^{2} y^{2} + 3 x + y^{2} x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

단계 8.3.14

$2 x^{2} y^{2}$ 를 $y^{2} x^{2}$ 에 더합니다.

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단계 8.3.14.1

$y^{2}$ 와 $x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$2 x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

단계 8.3.14.2

$2 x^{2} y^{2}$ 를 $x^{2} y^{2}$ 에 더합니다.

$3 x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

단계 8.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$3 x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d g}{d y} = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

단계 8.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

단계 9

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1.1

$3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1.1

다시 씁니다.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 0 + 0 + 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

단계 9.1.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

단계 9.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2}) + 3 x + 3 \cdot - 1$

단계 9.1.1.4

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3$

단계 9.1.2

$\frac{d g}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 9.1.2.1

방정식의 양변에서 $3 x^{2} y^{2}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} + 3 x = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2}$

단계 9.1.2.2

방정식의 양변에서 $3 x$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2} - 3 x$

단계 9.1.2.3

$3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2} - 3 x$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 9.1.2.3.1

$3 x^{2} y^{2}$ 에서 $3 x^{2} y^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = 3 x - 3 + 0 - 3 x$

단계 9.1.2.3.2

$3 x - 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = 3 x - 3 - 3 x$

단계 9.1.2.3.3

$3 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = 0 - 3$

단계 9.1.2.3.4

$0$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = - 3$

단계 10

$- 3$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d y} = - 3$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 3 d y$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int - 3 d y$

단계 10.3

상수 규칙을 적용합니다.

$g (y) = - 3 y + C$

단계 11

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

단계 12

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = y (3 x) + y (y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

단계 12.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f (x, y) = 3 y x + y (y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

단계 12.3

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 12.3.1

$y^{2}$ 를 옮깁니다.

$f (x, y) = 3 y x + y^{2} y x^{2} - 3 y + C$

단계 12.3.2

$y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 12.3.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (x, y) = 3 y x + y^{2} y^{1} x^{2} - 3 y + C$

단계 12.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (x, y) = 3 y x + y^{2 + 1} x^{2} - 3 y + C$

단계 12.3.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (x, y) = 3 y x + y^{3} x^{2} - 3 y + C$