미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = y^{2} (1 + e^{x})$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (1 + e^{x}))$

단계 1.2

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (1 + e^{x}))$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 + e^{x}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = (1 + e^{x}) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 1 + e^{x} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.2.1.1

$y^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 1 + e^{x} d x$

단계 2.2.1.2

${(y^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 1 + e^{x} d x$

단계 2.2.1.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int y^{- 2} d y = \int 1 + e^{x} d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{- 2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- y^{- 1}$ 가 됩니다.

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 1 + e^{x} d x$

단계 2.2.3

$- y^{- 1} + C_{1}$ 을 $- \frac{1}{y} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 + e^{x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int d x + \int e^{x} d x$

단계 2.3.2

상수 규칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + C_{2} + \int e^{x} d x$

단계 2.3.3

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + C_{2} + e^{x} + C_{3}$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + e^{x} + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{y} = x + e^{x} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

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단계 3.1.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$y, 1, 1, 1$

단계 3.1.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$y$

단계 3.2

$- \frac{1}{y} = x + e^{x} + K$ 의 각 항에 $y$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

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단계 3.2.1

$- \frac{1}{y} = x + e^{x} + K$ 의 각 항에 $y$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} y = x y + e^{x} y + K y$

단계 3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.2.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.2.1.1

$- \frac{1}{y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{y} y = x y + e^{x} y + K y$

단계 3.2.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{y} y = x y + e^{x} y + K y$

단계 3.2.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 = x y + e^{x} y + K y$

단계 3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

$x y + e^{x} y + K y$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 1 = x y + y e^{x} + K y$

단계 3.3

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$x y + y e^{x} + K y = - 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x y + y e^{x} + K y = - 1$

단계 3.3.2

$x y + y e^{x} + K y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y x + y e^{x} + K y = - 1$

단계 3.3.2.2

$y e^{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y x + y (e^{x}) + K y = - 1$

단계 3.3.2.3

$K y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y x + y (e^{x}) + y K = - 1$

단계 3.3.2.4

$y x + y (e^{x})$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x + e^{x}) + y K = - 1$

단계 3.3.2.5

$y (x + e^{x}) + y K$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x + e^{x} + K) = - 1$

단계 3.3.3

$y (x + e^{x} + K) = - 1$ 의 각 항을 $x + e^{x} + K$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$y (x + e^{x} + K) = - 1$ 의 각 항을 $x + e^{x} + K$ 로 나눕니다.

$\frac{y (x + e^{x} + K)}{x + e^{x} + K} = \frac{- 1}{x + e^{x} + K}$

단계 3.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1

$x + e^{x} + K$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (x + e^{x} + K)}{x + e^{x} + K} = \frac{- 1}{x + e^{x} + K}$

단계 3.3.3.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{- 1}{x + e^{x} + K}$

단계 3.3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{1}{x + e^{x} + K}$