미적분 예제

$(1 + x^{3}) d y = 3 x^{2} (y d) x$

단계 1

양변에 $\frac{1}{(1 + x^{3}) y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$1 + x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$(1 + x^{3}) y$ 에서 $1 + x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{(1 + x^{3}) (y)} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

단계 2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

단계 2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

단계 2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

단계 2.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1^{3} + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

단계 2.3.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

단계 2.3.3.2

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

단계 2.4

$3$ 와 $\frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

단계 2.5

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$(1 + x) (1 - x + x^{2}) y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (x^{2} y) d x$

단계 2.5.2

$x^{2} y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (y x^{2}) d x$

단계 2.5.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (y x^{2}) d x$

단계 2.5.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} x^{2} d x$

단계 2.6

$\frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

단계 3

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

단계 3.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

단계 3.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

단계 3.3.2

먼저 $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 x^{2} d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

$(1 + x) (1 - x + x^{2})$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x + x^{2})]$

단계 3.3.2.1.2

$f (x) = 1 + x$ , $g (x) = 1 - x + x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x + x^{2}] + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

단계 3.3.2.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.3.1

합의 법칙에 의해 $1 - x + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

단계 3.3.2.1.3.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

단계 3.3.2.1.3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

단계 3.3.2.1.3.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

단계 3.3.2.1.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 + x) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

단계 3.3.2.1.3.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(1 + x) (- 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

단계 3.3.2.1.3.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

단계 3.3.2.1.3.8

합의 법칙에 의해 $1 + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.2.1.3.9

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.2.1.3.10

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x]$ 에 더합니다.

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3.2.1.3.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \cdot 1$

단계 3.3.2.1.3.12

$1 - x + x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + 1 - x + x^{2}$

단계 3.3.2.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

단계 3.3.2.1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

단계 3.3.2.1.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

단계 3.3.2.1.4.4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.4.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

단계 3.3.2.1.4.4.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$- 1 - 1 \cdot x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

단계 3.3.2.1.4.4.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$- 1 - x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

단계 3.3.2.1.4.4.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 - x + 2 x + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

단계 3.3.2.1.4.4.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x) + 1 - x + x^{2}$

단계 3.3.2.1.4.4.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 - x + x^{2}$

단계 3.3.2.1.4.4.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{1 + 1} + 1 - x + x^{2}$

단계 3.3.2.1.4.4.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

단계 3.3.2.1.4.4.9

$- x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$- 1 + x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

단계 3.3.2.1.4.4.10

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x + 2 x^{2} + 0 - x + x^{2}$

단계 3.3.2.1.4.4.11

$x + 2 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x + 2 x^{2} - x + x^{2}$

단계 3.3.2.1.4.4.12

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$2 x^{2} + 0 + x^{2}$

단계 3.3.2.1.4.4.13

$2 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x^{2} + x^{2}$

단계 3.3.2.1.4.4.14

$2 x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$3 x^{2}$

단계 3.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

단계 3.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

단계 3.3.3.2

$u$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{3 u} d u$

단계 3.3.4

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 3.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

단계 3.3.5.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.2.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

단계 3.3.5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

단계 3.3.5.3

$\int \frac{1}{u} d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

단계 3.3.6

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

단계 3.3.7

$u$ 를 모두 $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ 로 바꿉니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C_{2}$

단계 3.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C$

단계 4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y |) - \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) = C$

단계 4.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$

단계 4.3

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})} = e^{C}$

단계 4.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = \frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}$

단계 4.5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} = e^{C}$

단계 4.5.2

양변에 $| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ 을 곱합니다.

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

단계 4.5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.3.1.1

$| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

단계 4.5.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$| y | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

단계 4.5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.3.2.1

$e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.3.2.1.1

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ 를 전개합니다.

$| y | = e^{C} | 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

단계 4.5.3.2.1.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.3.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.3.2.1.2.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$| y | = e^{C} | 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

단계 4.5.3.2.1.2.1.2

$- x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$| y | = e^{C} | 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

단계 4.5.3.2.1.2.1.3

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

단계 4.5.3.2.1.2.1.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

단계 4.5.3.2.1.2.1.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |$

단계 4.5.3.2.1.2.1.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.3.2.1.2.1.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |$

단계 4.5.3.2.1.2.1.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |$

단계 4.5.3.2.1.2.1.7

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.3.2.1.2.1.7.1

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.3.2.1.2.1.7.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1} x^{2} |$

단계 4.5.3.2.1.2.1.7.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |$

단계 4.5.3.2.1.2.1.7.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |$

단계 4.5.3.2.1.2.2

$1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.3.2.1.2.2.1

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |$

단계 4.5.3.2.1.2.2.2

$1 + x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |$

단계 4.5.3.2.1.2.2.3

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$| y | = e^{C} | 1 + 0 + x^{3} |$

단계 4.5.3.2.1.2.2.4

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$| y | = e^{C} | 1 + x^{3} |$

단계 4.5.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.4.1

$e^{C} | 1 + x^{3} |$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$| y | = | 1 + x^{3} | e^{C}$

단계 4.5.4.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm | 1 + x^{3} | e^{C}$

단계 5

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \pm | 1 + x^{3} | C$

단계 5.2

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C | 1 + x^{3} |$