미적분 예제

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y = g (x)$

단계 1

미분 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y = y$

단계 2

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1.1.1

분수를 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} - (\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) y = y$

단계 2.1.1.1.1.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 $\cot (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{d y}{d x} - (\frac{2}{1} \cot (x)) y = y$

단계 2.1.1.1.1.3

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} - (2 \cot (x)) y = y$

단계 2.1.1.1.1.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} - 2 \cot (x) y = y$

단계 2.1.1.1.2

$\frac{d y}{d x} - 2 \cot (x) y$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} - 2 y \cot (x) = y$

단계 2.1.2

방정식의 양변에 $2 y \cot (x)$ 를 더합니다.

$\frac{d y}{d x} = y + 2 y \cot (x)$

단계 2.2

$y + 2 y \cot (x)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d x} = y^{1} + 2 y \cot (x)$

단계 2.2.2

$y^{1}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + 2 y \cot (x)$

단계 2.2.3

$2 y \cot (x)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + y (2 \cot (x))$

단계 2.2.4

$y \cdot 1 + y (2 \cot (x))$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = y (1 + 2 \cot (x))$

단계 2.3

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + 2 \cot (x)))$

단계 2.4

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + 2 \cot (x)))$

단계 2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 + 2 \cot (x)$

단계 2.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = (1 + 2 \cot (x)) d x$

단계 3

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 + 2 \cot (x) d x$

단계 3.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 + 2 \cot (x) d x$

단계 3.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int 2 \cot (x) d x$

단계 3.3.2

상수 규칙을 적용합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int 2 \cot (x) d x$

단계 3.3.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + 2 \int \cot (x) d x$

단계 3.3.4

$\cot (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sin (x) |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\ln (| \sin (x) |) + C_{3})$

단계 3.3.5

간단히 합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + 2 \ln (| \sin (x) |) + C_{4}$

단계 3.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = x + 2 \ln (| \sin (x) |) + C$

단계 4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| \sin (x) |) = x + C$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$\ln (| y |) - 2 \ln (| \sin (x) |)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln (| \sin (x) |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln (| y |) - \ln ({| \sin (x) |}^{2}) = x + C$

단계 4.2.1.1.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| \sin (x) |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$\ln (| y |) - \ln (\sin^{2} (x)) = x + C$

단계 4.2.1.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| y |}{\sin^{2} (x)}) = x + C$

단계 4.2.1.3

$1$ 을 곱합니다.

$\ln (\frac{| y |}{\sin^{2} (x) \cdot 1}) = x + C$

단계 4.2.1.4

분수를 나눕니다.

$\ln (\frac{| y |}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}) = x + C$

단계 4.2.1.5

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 을 $\csc^{2} (x)$ 로 변환합니다.

$\ln (\frac{| y |}{1} \csc^{2} (x)) = x + C$

단계 4.2.1.6

$| y |$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| y | \csc^{2} (x)) = x + C$

단계 4.3

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y | \csc^{2} (x))} = e^{x + C}$

단계 4.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y | \csc^{2} (x)) = x + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{x + C} = | y | \csc^{2} (x)$

단계 4.5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$

단계 4.5.2

$| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ 의 각 항을 $\csc^{2} (x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1

$| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ 의 각 항을 $\csc^{2} (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{| y | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

단계 4.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.2.1

$\csc^{2} (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{| y | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

단계 4.5.2.2.1.2

$| y |$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$| y | = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

단계 4.5.3

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

단계 5

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$e^{x + C}$ 을 $e^{x} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

단계 5.2

$e^{x}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{\csc^{2} (x)}$

단계 5.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C \frac{C e^{x}}{\csc^{2} (x)}$