미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(x y)}^{2}}$ , $y (1) = 3$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} y^{2}}$

단계 1.2

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

단계 1.3

양변에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

조합합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{x^{2} y^{2}}$

단계 1.4.2

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$x^{2} y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} x^{2}}$

단계 1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} x^{2}}$

단계 1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{x^{2}}$

단계 1.4.3

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 2.3.1.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 2.3.1.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

단계 2.3.3

$- x^{- 1} + C_{2}$ 을 $- \frac{1}{x} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{x} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $3$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

단계 3.2.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$3 (- \frac{1}{x} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{x}) + 3 K$

단계 3.2.2.1.2

$3 (- \frac{1}{x})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.2.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y^{3} = - 3 \frac{1}{x} + 3 K$

단계 3.2.2.1.2.2

$- 3$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$y^{3} = \frac{- 3}{x} + 3 K$

단계 3.2.2.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y^{3} = - \frac{3}{x} + 3 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3}{x} + 3 K}$

단계 3.4

$\sqrt[3]{- \frac{3}{x} + 3 K}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$- \frac{3}{x} + 3 K$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

$- \frac{3}{x}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x}) + 3 K}$

단계 3.4.1.2

$3 K$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x}) + 3 K}$

단계 3.4.1.3

$3 (- \frac{1}{x}) + 3 K$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x} + K)}$

단계 3.4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $K$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x} + \frac{K x}{x})}$

단계 3.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- 1 + K x}{x}}$

단계 3.4.4

$3$ 와 $\frac{- 1 + K x}{x}$ 을 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + K x)}{x}}$

단계 3.4.5

$\sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + K x)}{x}}$ 을 $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$

단계 3.4.6

$\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

단계 3.4.7

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.7.1

$\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

단계 3.4.7.2

$\sqrt[3]{x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

단계 3.4.7.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

단계 3.4.7.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

단계 3.4.7.5

${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 을 $x$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.7.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

단계 3.4.7.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

단계 3.4.7.5.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

단계 3.4.7.5.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.7.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

단계 3.4.7.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

단계 3.4.7.5.5

간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

단계 3.4.8

${\sqrt[3]{x}}^{2}$ 을 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

단계 3.4.9

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x) x^{2}}}{x}$

단계 3.4.10

$\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x) x^{2}}}{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$

단계 4

초기 조건을 활용하여 $y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$ 에서 $x$ 에 $1$ 을, $y$ 에 $3$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$3 = \frac{\sqrt[3]{3 \cdot 1^{2} (- 1 + K \cdot 1)}}{1}$

단계 5

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\frac{\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}{1} = 3$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}{1} = 3$

단계 5.2

$\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))} = 3$

단계 5.3

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 세제곱합니다.

${\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}^{3} = 3^{3}$

단계 5.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}$ 을(를) ${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 3^{3}$

단계 5.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1.1.1

${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

단계 5.3.2.2.1.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

단계 5.3.2.2.1.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{1} = 3^{3}$

단계 5.3.2.2.1.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

${(3 \cdot (1 (- 1 + K \cdot 1)))}^{1} = 3^{3}$

단계 5.3.2.2.1.1.3

$- 1 + K \cdot 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(3 \cdot (- 1 + K \cdot 1))}^{1} = 3^{3}$

단계 5.3.2.2.1.1.4

$K$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(3 \cdot (- 1 + K))}^{1} = 3^{3}$

단계 5.3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

${(3 \cdot - 1 + 3 K)}^{1} = 3^{3}$

단계 5.3.2.2.1.3

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1.3.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

${(- 3 + 3 K)}^{1} = 3^{3}$

단계 5.3.2.2.1.3.2

간단히 합니다.

$- 3 + 3 K = 3^{3}$

단계 5.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.1

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 3 + 3 K = 27$

단계 5.3.3

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$3 K = 27 + 3$

단계 5.3.3.1.2

$27$ 를 $3$ 에 더합니다.

$3 K = 30$

단계 5.3.3.2

$3 K = 30$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1

$3 K = 30$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 K}{3} = \frac{30}{3}$

단계 5.3.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 K}{3} = \frac{30}{3}$

단계 5.3.3.2.2.1.2

$K$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$K = \frac{30}{3}$

단계 5.3.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.3.1

$30$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$K = 10$

단계 6

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$ 의 $K$ 에 $10$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$K$ 에 $10$ 를 대입합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + 10 x)}}{x}$