미적분 예제

$x d y - (1 + y^{2}) d x = 0$

단계 1

방정식의 양변에 $(1 + y^{2}) d x$ 를 더합니다.

$x d y = (1 + y^{2}) d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{x (1 + y^{2})}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x (1 + y^{2})} x d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x (1 + y^{2})} x d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

단계 3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

단계 3.2

$1 + y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1

$x (1 + y^{2})$ 에서 $1 + y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + y^{2}) x} (1 + y^{2}) d x$

단계 3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + y^{2}) x} (1 + y^{2}) d x$

단계 3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

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단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

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단계 4.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

단계 4.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\arctan (y) + C_{1}$ 입니다.

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 4.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\arctan (y) = \ln (| x |) + C$

단계 5

방정식의 양변에서 역 아크탄젠트를 취하여 아크탄젠트 안의 $y$ 을 꺼냅니다.

$y = \tan (\ln (| x |) + C)$