미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + y \sec (x) = \tan (x)$

단계 1

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

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단계 1.1

$y \sec (x)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y (\sec (x)) = \tan (x)$

단계 1.2

$y$ 와 $\sec (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + \sec (x) y = \tan (x)$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \sec (x)$ 입니다.

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단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \sec (x) d x}$

단계 2.2

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ 입니다.

$e^{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{\ln (\sec (x) + \tan (x))}$

단계 2.4

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$\sec (x) + \tan (x)$

단계 3

각 항에 적분 인수 $\sec (x) + \tan (x)$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

각 항에 $\sec (x) + \tan (x)$ 을 곱합니다.

$(\sec (x) + \tan (x)) \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

단계 3.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\sec (x) y) + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

단계 3.2.3

$\sec (x) (\sec (x) y)$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.3.1

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{1} (x) \sec (x) y + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

단계 3.2.3.2

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) y + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

단계 3.2.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + {\sec (x)}^{1 + 1} y + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

단계 3.2.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \tan (x)$

단계 3.4

$\tan (x) \tan (x)$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.1

$\tan (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan (x)$

단계 3.4.2

$\tan (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x)$

단계 3.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 1}$

단계 3.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

단계 3.5

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + y \sec^{2} (x) + y \tan (x) \sec (x) = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [(\sec (x) + \tan (x)) y] = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [(\sec (x) + \tan (x)) y] d x = \int \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \int \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

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단계 7.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \int \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

단계 7.2

$\sec (x)$ 의 도함수는 $\sec (x) \tan (x)$ 이므로, $\sec (x) \tan (x)$ 의 적분값은 $\sec (x)$ 이 됩니다.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int \tan^{2} (x) d x$

단계 7.3

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (x)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int - 1 + \sec^{2} (x) d x$

단계 7.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x$

단계 7.5

상수 규칙을 적용합니다.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C - x + C + \int \sec^{2} (x) d x$

단계 7.6

$\tan (x)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (x)$ 이므로, $\sec^{2} (x)$ 의 적분값은 $\tan (x)$ 이 됩니다.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C - x + C + \tan (x) + C$

단계 7.7

간단히 합니다.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$

단계 8

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$ 의 각 항을 $\sec (x) + \tan (x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$ 의 각 항을 $\sec (x) + \tan (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) y}{\sec (x) + \tan (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$\sec (x) + \tan (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) y}{\sec (x) + \tan (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

단계 8.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

단계 8.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\sec (x) - x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

단계 8.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\sec (x) - x + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

단계 8.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\sec (x) - x + \tan (x) + C}{\sec (x) + \tan (x)}$