미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{3} - y^{2}} = 0$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{3} - y^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$y^{3} - y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1.1

$y^{3}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} y - y^{2}} = 0$

단계 1.1.1.1.2

$- y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} y + y^{2} \cdot - 1} = 0$

단계 1.1.1.1.3

$y^{2} y + y^{2} \cdot - 1$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

단계 1.1.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{d y}{d x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} \cdot \frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

단계 1.1.1.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(y - 1) y^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.1

$\frac{d y}{d x}$ 와 $\frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2})}{(y - 1) y^{2}} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

단계 1.1.1.3.2

$(y - 1) y^{2}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2})}{y^{2} (y - 1)} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

단계 1.1.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2}) + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

단계 1.1.1.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} \cdot - 1) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

단계 1.1.1.5.2

$\frac{d y}{d x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{(\frac{d y}{d x} y - 1 \cdot \frac{d y}{d x}) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

단계 1.1.1.5.3

$- 1 \frac{d y}{d x}$ 을 $- \frac{d y}{d x}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(\frac{d y}{d x} y - \frac{d y}{d x}) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

단계 1.1.1.5.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} y \cdot y^{2} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

단계 1.1.1.5.5

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.5.5.1

$y^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} (y^{2} y) - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

단계 1.1.1.5.5.2

$y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.5.5.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} (y^{2} y^{1}) - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

단계 1.1.1.5.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2 + 1} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

단계 1.1.1.5.5.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

단계 1.1.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25 = 0$

단계 1.1.3

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$\frac{d y}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1

방정식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + 25 = - x^{2}$

단계 1.1.3.1.2

방정식의 양변에서 $25$ 를 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} = - x^{2} - 25$

단계 1.1.3.2

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2}$ 에서 $\frac{d y}{d x} y^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1

$\frac{d y}{d x} y^{3}$ 에서 $\frac{d y}{d x} y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} y^{2} y - \frac{d y}{d x} y^{2} = - x^{2} - 25$

단계 1.1.3.2.2

$- \frac{d y}{d x} y^{2}$ 에서 $\frac{d y}{d x} y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} y^{2} y + \frac{d y}{d x} y^{2} \cdot - 1 = - x^{2} - 25$

단계 1.1.3.2.3

$\frac{d y}{d x} y^{2} y + \frac{d y}{d x} y^{2} \cdot - 1$ 에서 $\frac{d y}{d x} y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$

단계 1.1.3.3

$\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$ 의 각 항을 $y^{2} (y - 1)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1

$\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$ 의 각 항을 $y^{2} (y - 1)$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1)}{y^{2} (y - 1)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

단계 1.1.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.2.1

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1)}{y^{2} (y - 1)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

단계 1.1.3.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} (y - 1)}{y - 1} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

단계 1.1.3.3.2.2

$y - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} (y - 1)}{y - 1} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

단계 1.1.3.3.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

단계 1.1.3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.3.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

단계 1.1.3.3.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$

단계 1.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$- \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

$- \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$

단계 1.2.1.2

$- \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - (\frac{25}{y^{2} (y - 1)})$

단계 1.2.1.3

$- (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - (\frac{25}{y^{2} (y - 1)})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{25}{y^{2} (y - 1)})$

단계 1.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

단계 1.3

양변에 $y^{2} (y - 1)$ 을 곱합니다.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) (- \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)})$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - y^{2} (y - 1) \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

단계 1.4.2

$y^{2} (y - 1)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$- y^{2} (y - 1)$ 에서 $y^{2} (y - 1)$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) (- 1) \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

단계 1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) \cdot - 1 \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

단계 1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - (x^{2} + 25)$

단계 1.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 1 \cdot 25$

단계 1.4.4

$- 1$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 25$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$y^{2} (y - 1) d y = (- x^{2} - 25) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y^{2} (y - 1) d y = \int - x^{2} - 25 d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$y^{2} (y - 1)$ 을 곱합니다.

$\int y^{2} y + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

단계 2.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

지수를 더하여 $y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int y^{2} y^{1} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

단계 2.2.2.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int y^{2 + 1} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

단계 2.2.2.1.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int y^{3} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

단계 2.2.2.2

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\int y^{3} - 1 \cdot y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

단계 2.2.2.3

$- 1 y^{2}$ 을 $- y^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int y^{3} - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

단계 2.2.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int y^{3} d y + \int - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

단계 2.2.4

멱의 법칙에 의해 $y^{3}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} y^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

단계 2.2.5

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} - \int y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

단계 2.2.6

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} - (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int - x^{2} - 25 d x$

단계 2.2.7

간단히 합니다.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int - x^{2} - 25 d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int - x^{2} d x + \int - 25 d x$

단계 2.3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - \int x^{2} d x + \int - 25 d x$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int - 25 d x$

단계 2.3.4

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) - 25 x + C_{5}$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) - 25 x + C_{5}$

단계 2.3.5.2

간단히 합니다.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - \frac{1}{3} x^{3} - 25 x + C_{6}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} x^{3} - 25 x + K$