미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{y}$ , $y (- 1) = - 2$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x^{2}}{y}$

단계 1.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x^{2}}{y}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$y d y = 6 x^{2} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y d y = \int 6 x^{2} d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 6 x^{2} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 6 \int x^{2} d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

단계 2.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ 을 $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

단계 2.3.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

$6$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{2}$

단계 2.3.3.2.2

$6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{2}$

단계 2.3.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.2.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

단계 2.3.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

단계 2.3.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{2}$

단계 2.3.3.2.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x^{3} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} = 2 x^{3} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (2 x^{3} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (2 x^{3} + K)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (2 x^{3} + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 2 (2 x^{3} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 (2 x^{3} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 2 (2 x^{3}) + 2 K$

단계 3.2.2.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y^{2} = 4 x^{3} + 2 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{4 x^{3} + 2 K}$

단계 3.4

$4 x^{3} + 2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$4 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (2 x^{3}) + 2 K}$

단계 3.4.2

$2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (2 x^{3}) + 2 K}$

단계 3.4.3

$2 (2 x^{3}) + 2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

단계 3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

단계 3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

단계 3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

단계 4

$y$ 가 초기 조건 $(- 1, - 2)$ 에서 음수이므로 $y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$ 만 고려하여 $K$ 를 구합니다. $x$ 에 $- 1$ 를 대입하고 $y$ 에 $- 2$ 를 대입합니다.

$- 2 = - \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)}$

단계 5

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)} = - 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)} = - 2$

단계 5.2

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${(- \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

단계 5.3

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)}$ 을(를) ${(2 (2 {(- 1)}^{3} + K))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(- {(2 (2 {(- 1)}^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

${(- {(2 (2 {(- 1)}^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1.1

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

${(- {(2 (2 \cdot - 1 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

단계 5.3.2.1.1.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

${(- {(2 (- 2 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

단계 5.3.2.1.2

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

${(- {(2 \cdot - 2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

단계 5.3.2.1.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.2.2.1

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

${(- {(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

단계 5.3.2.1.2.2.2

$- {(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

${(- 1)}^{2} {({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

단계 5.3.2.1.2.2.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 {({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

단계 5.3.2.1.2.2.4

${({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

단계 5.3.2.1.2.2.5

${({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.2.2.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

단계 5.3.2.1.2.2.5.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.2.2.5.2.1

공약수로 약분합니다.

${(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

단계 5.3.2.1.2.2.5.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(- 4 + 2 K)}^{1} = {(- 2)}^{2}$

단계 5.3.2.1.3

간단히 합니다.

$- 4 + 2 K = {(- 2)}^{2}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 4 + 2 K = 4$

단계 5.4

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$2 K = 4 + 4$

단계 5.4.1.2

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$2 K = 8$

단계 5.4.2

$2 K = 8$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$2 K = 8$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 K}{2} = \frac{8}{2}$

단계 5.4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 K}{2} = \frac{8}{2}$

단계 5.4.2.2.1.2

$K$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$K = \frac{8}{2}$

단계 5.4.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.3.1

$8$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$K = 4$

단계 6

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$ 의 $K$ 에 $4$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$K$ 에 $4$ 를 대입합니다.

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + 4)}$

단계 6.2

$2 x^{3} + 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$2 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = - \sqrt{2 (2 (x^{3}) + 4)}$

단계 6.2.2

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + 2 \cdot 2)}$

단계 6.2.3

$2 x^{3} + 2 \cdot 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = - \sqrt{2 (2 (x^{3} + 2))}$

$y = - \sqrt{2 \cdot 2 (x^{3} + 2)}$

단계 6.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = - \sqrt{4 (x^{3} + 2)}$

단계 6.4

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = - \sqrt{2^{2} (x^{3} + 2)}$

단계 6.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = - (2 \sqrt{x^{3} + 2})$

단계 6.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = - 2 \sqrt{x^{3} + 2}$