미적분 예제

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = \ln (| x |)$ ; con $y (1) = 10$

단계 1

방정식 좌변이 $(x + 1) y$ 항의 도함수 결과값인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x + 1$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 1.3

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

단계 1.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

단계 1.7

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

단계 1.8

$y$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

단계 1.9

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

단계 2

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = \ln (| x |)$

단계 3

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int \ln (| x |) d x$

단계 4

좌변을 적분합니다.

$(x + 1) y = \int \ln (| x |) d x$

단계 5

우변을 적분합니다.

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단계 5.1

$u = \ln (| x |)$ 이고 $d v = 1$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int x \frac{1}{x} d x$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x$

단계 5.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x$

단계 5.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int d x$

단계 5.3

상수 규칙을 적용합니다.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - (x + C)$

단계 5.4

간단히 합니다.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$

단계 6

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$ 의 각 항을 $x + 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$ 의 각 항을 $x + 1$ 로 나눕니다.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

단계 6.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

단계 6.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

단계 6.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

단계 6.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\ln (| x |) x - x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

단계 6.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\ln (| x |) x - x + C}{x + 1}$

단계 6.3.4

$\ln (| x |) x - x + C$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$

단계 7

초기 조건을 활용하여 $y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$ 에서 $x$ 에 $1$ 을, $y$ 에 $10$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$10 = \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1}$

단계 8

$C$ 에 대해 풉니다.

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단계 8.1

$\frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = 10$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = 10$

단계 8.2

방정식의 양변에 $1 + 1$ 을 곱합니다.

$(1 + 1) \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

단계 8.3

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

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단계 8.3.1

좌변을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1.1

$(1 + 1) \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1}$ 을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1.1.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.3.1.1.1.1

$\ln (| 1 |)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(1 + 1) \frac{\ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

단계 8.3.1.1.1.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$(1 + 1) \frac{\ln (1) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

단계 8.3.1.1.1.3

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$(1 + 1) \frac{0 - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

단계 8.3.1.1.1.4

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$(1 + 1) \frac{- 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

단계 8.3.1.1.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 8.3.1.1.2.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(1 + 1) \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

단계 8.3.1.1.2.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

단계 8.3.1.1.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

단계 8.3.1.1.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$- 1 + C = (1 + 1) \cdot 10$

단계 8.3.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 8.3.2.1

$(1 + 1) \cdot 10$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 1 + C = 2 \cdot 10$

단계 8.3.2.1.2

$2$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$- 1 + C = 20$

단계 8.4

$C$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 8.4.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$C = 20 + 1$

단계 8.4.2

$20$ 를 $1$ 에 더합니다.

$C = 21$

단계 9

$y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$ 의 $C$ 에 $21$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 9.1

$C$ 에 $21$ 를 대입합니다.

$y = \frac{x \ln (| x |) - x + 21}{x + 1}$