미적분 예제

$y^{2} (x + y + 1) d x + x y (x + 3 y + 2) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = y^{2} (x + y + 1)$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} (x + y + 1)]$

단계 1.2

$f (y) = y^{2}$ , $g (y) = x + y + 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} \frac{d}{d y} [x + y + 1] + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

합의 법칙에 의해 $x + y + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.3.2

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [y]$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (1 + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.3.5

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (1 + 0) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.3.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.6.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} \cdot 1 + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.3.6.2

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.3.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + (x + y + 1) (2 y)$

단계 1.3.8

$x + y + 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 \cdot (x + y + 1) y$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + (2 x + 2 y + 2 \cdot 1) y$

단계 1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 y \cdot y + 2 \cdot 1 y$

단계 1.4.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 (y^{1} y) + 2 \cdot 1 y$

단계 1.4.3.2

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 (y^{1} y^{1}) + 2 \cdot 1 y$

단계 1.4.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 y^{1 + 1} + 2 \cdot 1 y$

단계 1.4.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} + 2 \cdot 1 y$

단계 1.4.3.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} + 2 y$

단계 1.4.3.6

$y^{2}$ 를 $2 y^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 2 x y + 2 y$

단계 2

$N (x, y) = x y (x + 3 y + 2)$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y (x + 3 y + 2)]$

단계 2.2

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x y (x + 3 y + 2)$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [x (x + 3 y + 2)]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x (x + 3 y + 2)]$

단계 2.3

$f (x) = x$ , $g (x) = x + 3 y + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x \frac{d}{d x} [x + 3 y + 2] + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

합의 법칙에 의해 $x + 3 y + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (1 + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.4.3

$3 y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3 y$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (1 + 0 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.4.4

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.4.5

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (1 + 0) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.4.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.6.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x \cdot 1 + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.4.6.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.4.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x + (x + 3 y + 2) \cdot 1)$

단계 2.4.8

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.8.1

$x + 3 y + 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x + x + 3 y + 2)$

단계 2.4.8.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + 3 y + 2)$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + y (3 y) + y \cdot 2$

단계 2.5.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot y x + y (3 y) + y \cdot 2$

단계 2.5.2.2

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 (y^{1} y) + y \cdot 2$

단계 2.5.2.3

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 (y^{1} y^{1}) + y \cdot 2$

단계 2.5.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 y^{1 + 1} + y \cdot 2$

단계 2.5.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 y^{2} + y \cdot 2$

단계 2.5.2.6

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 y^{2} + 2 y$

단계 2.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + 2 x y + 2 y$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $3 y^{2} + 2 x y + 2 y$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $3 y^{2} + 2 x y + 2 y$ 을 대입합니다.

$3 y^{2} + 2 x y + 2 y = 3 y^{2} + 2 x y + 2 y$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$3 y^{2} + 2 x y + 2 y = 3 y^{2} + 2 x y + 2 y$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int y^{2} (x + y + 1) d x$

단계 5

$M (x, y) = y^{2} (x + y + 1)$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$y^{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $y^{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = y^{2} \int x + y + 1 d x$

단계 5.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = y^{2} (\int x d x + \int y d x + \int d x)$

단계 5.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int y d x + \int d x)$

단계 5.4

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + y x + C + \int d x)$

단계 5.5

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C + y x + C + \int d x)$

단계 5.6

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C + y x + C + x + C)$

단계 5.7

간단히 합니다.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + C$

단계 6

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + g (y)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8.2

합의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 8.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) + g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8.2.2

합의 법칙에 의해 $y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8.3

$\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$f (y) = y^{2}$ , $g (y) = \frac{x^{2}}{2} + y x + x$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} + y x + x] + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8.3.2

합의 법칙에 의해 $\frac{x^{2}}{2} + y x + x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [x]$ 가 됩니다.

$y^{2} (\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [x]) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8.3.3

$\frac{x^{2}}{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $\frac{x^{2}}{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{x^{2}}{2}$ 입니다.

$y^{2} (0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [x]) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8.3.4

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $y x$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$y^{2} (0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y^{2} (0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x]) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8.3.6

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$y^{2} (0 + x \cdot 1 + 0) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8.3.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y^{2} (0 + x \cdot 1 + 0) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8.3.8

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} (0 + x + 0) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8.3.9

$0$ 를 $x$ 에 더합니다.

$y^{2} (x + 0) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8.3.10

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y^{2} x + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8.3.11

$\frac{x^{2}}{2} + y x + x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y^{2} x + 2 (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$y^{2} x + 2 (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} x + (2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (y x) + 2 x) y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} x + 2 \frac{x^{2}}{2} y + 2 (y x) y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8.5.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.3.1

$2$ 와 $\frac{x^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$y^{2} x + \frac{2 x^{2}}{2} y + 2 (y x) y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8.5.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$y^{2} x + \frac{2 x^{2}}{2} y + 2 (y x) y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8.5.3.2.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} x + x^{2} y + 2 (y x) y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8.5.3.3

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$y^{2} x + x^{2} y + 2 x (y^{1} y) + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8.5.3.4

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$y^{2} x + x^{2} y + 2 x (y^{1} y^{1}) + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8.5.3.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y^{2} x + x^{2} y + 2 x y^{1 + 1} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8.5.3.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y^{2} x + x^{2} y + 2 x y^{2} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8.5.3.7

$y^{2} x$ 를 $2 x y^{2}$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.3.7.1

$y^{2}$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$x y^{2} + 2 x y^{2} + x^{2} y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8.5.3.7.2

$x y^{2}$ 를 $2 x y^{2}$ 에 더합니다.

$3 x y^{2} + x^{2} y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

단계 8.5.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x y (x + 3 y + 2)$

단계 9

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$x y (x + 3 y + 2)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1.1

다시 씁니다.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = 0 + 0 + x y (x + 3 y + 2)$

단계 9.1.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x y (x + 3 y + 2)$

단계 9.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x y x + x y (3 y) + x y \cdot 2$

단계 9.1.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1.4.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1.4.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x \cdot x y + x y (3 y) + x y \cdot 2$

단계 9.1.1.4.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + x y (3 y) + x y \cdot 2$

단계 9.1.1.4.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y \cdot y + x y \cdot 2$

단계 9.1.1.4.3

$x y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y \cdot y + 2 \cdot (x y)$

단계 9.1.1.5

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1.5.1

$y$ 를 옮깁니다.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x (y \cdot y) + 2 \cdot (x y)$

단계 9.1.1.5.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 \cdot (x y)$

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

단계 9.1.2

$\frac{d g}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.2.1

방정식의 양변에서 $3 y^{2} x$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x$

단계 9.1.2.2

방정식의 양변에서 $x^{2} y$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x - x^{2} y$

단계 9.1.2.3

방정식의 양변에서 $2 x y$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x - x^{2} y - 2 x y$

단계 9.1.2.4

$x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x - x^{2} y - 2 x y$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.2.4.1

인수가 항 $3 x y^{2}$ 과(와) $- 3 y^{2} x$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 3 y^{2} x + 2 x y - 3 y^{2} x - x^{2} y - 2 x y$

단계 9.1.2.4.2

$3 y^{2} x$ 에서 $3 y^{2} x$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 2 x y + 0 - x^{2} y - 2 x y$

단계 9.1.2.4.3

$x^{2} y + 2 x y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 2 x y - x^{2} y - 2 x y$

단계 9.1.2.4.4

$x^{2} y$ 에서 $x^{2} y$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 0 - 2 x y$

단계 9.1.2.4.5

$2 x y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - 2 x y$

단계 9.1.2.4.6

$2 x y$ 에서 $2 x y$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = 0$

단계 10

$0$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d y} = 0$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int 0 d y$

단계 10.3

$0$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $0$ 입니다.

$g (y) = 0 + C$

단계 10.4

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$g (y) = C$

단계 11

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + C$

단계 12

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) + C$

단계 12.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = y^{2} \frac{x^{2}}{2} + y^{2} (y x) + y^{2} x + C$

단계 12.3

간단히 합니다.

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단계 12.3.1

$y^{2}$ 와 $\frac{x^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{2} (y x) + y^{2} x + C$

단계 12.3.2

지수를 더하여 $y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.2.1

$y$ 를 옮깁니다.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y \cdot y^{2} x + y^{2} x + C$

단계 12.3.2.2

$y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.2.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{1} y^{2} x + y^{2} x + C$

단계 12.3.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{1 + 2} x + y^{2} x + C$

단계 12.3.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$