미적분 예제

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 4 x^{3} + 3 x^{2} + 1$

단계 1

양변을 $x$ 에 대하여 적분합니다.

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단계 1.1

1차 도함수가 $x$ 에 대한 2차 도함수의 적분과 같습니다.

$\frac{d y}{d x} = \int 4 x^{3} + 3 x^{2} + 1 d x$

단계 1.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \int 4 x^{3} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

단계 1.3

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{d y}{d x} = 4 \int x^{3} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

단계 1.4

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{1}) + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

단계 1.5

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{1}) + 3 \int x^{2} d x + \int d x$

단계 1.6

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{1}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int d x$

단계 1.7

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{1}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + x + C_{3}$

단계 1.8

간단히 합니다.

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단계 1.8.1

간단히 합니다.

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단계 1.8.1.1

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{1}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + x + C_{3}$

단계 1.8.1.2

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + x + C_{3}$

단계 1.8.2

간단히 합니다.

$\frac{d y}{d x} = x^{4} + x^{3} + x + C_{4}$

단계 2

식을 다시 씁니다.

$d y = (x^{4} + x^{3} + x + C_{4}) d x$

단계 3

양변을 적분합니다.

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단계 3.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int x^{4} + x^{3} + x + C_{4} d x$

단계 3.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{5} = \int x^{4} + x^{3} + x + C_{4} d x$

단계 3.3

우변을 적분합니다.

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단계 3.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{5} = \int x^{4} d x + \int x^{3} d x + \int x d x + \int C_{4} d x$

단계 3.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} x^{5}$ 가 됩니다.

$y + C_{5} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{6} + \int x^{3} d x + \int x d x + \int C_{4} d x$

단계 3.3.3

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$y + C_{5} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{6} + \frac{1}{4} x^{4} + C_{7} + \int x d x + \int C_{4} d x$

단계 3.3.4

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$y + C_{5} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{6} + \frac{1}{4} x^{4} + C_{7} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{8} + \int C_{4} d x$

단계 3.3.5

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{5} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{6} + \frac{1}{4} x^{4} + C_{7} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{8} + C_{4} x + C_{9}$

단계 3.3.6

간단히 합니다.

$y + C_{5} = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} x + C_{10}$

단계 3.4

우변에 적분 상수를 $D$ 로 묶습니다.

$y = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C x + D$