미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = {(y + 2)}^{6}$ , $y (0) = - 1$

단계 1

변수를 분리합니다.

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단계 1.1

양변에 $\frac{1}{{(y + 2)}^{6}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} {(y + 2)}^{6}$

단계 1.2

${(y + 2)}^{6}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} {(y + 2)}^{6}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = 1$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} d y = 1 d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} d y = \int d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

먼저 $u = y + 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.2.1.1

$u = y + 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

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단계 2.2.1.1.1

$y + 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

단계 2.2.1.1.2

합의 법칙에 의해 $y + 2$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

단계 2.2.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

단계 2.2.1.1.4

$2$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.2.1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u^{6}} d u = \int d x$

단계 2.2.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.2.2.1

$u^{6}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(u^{6})}^{- 1} d u = \int d x$

단계 2.2.2.2

${(u^{6})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int u^{6 \cdot - 1} d u = \int d x$

단계 2.2.2.2.2

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int u^{- 6} d u = \int d x$

단계 2.2.3

멱의 법칙에 의해 $u^{- 6}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{5} u^{- 5} + C_{1} = \int d x$

단계 2.2.4

간단히 합니다.

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단계 2.2.4.1

$- \frac{1}{5} u^{- 5} + C_{1}$ 을 $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C_{1} = \int d x$

단계 2.2.4.2

간단히 합니다.

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단계 2.2.4.2.1

$\frac{1}{u^{5}}$ 에 $\frac{1}{5}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{u^{5} \cdot 5} + C_{1} = \int d x$

단계 2.2.4.2.2

$u^{5}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$- \frac{1}{5 u^{5}} + C_{1} = \int d x$

단계 2.2.5

$u$ 를 모두 $y + 2$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} + C_{1} = \int d x$

단계 2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} + C_{1} = x + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $- 1$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$- \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}} = 0 + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$0 + K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$0 + K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$

단계 4.2

$0$ 를 $K$ 에 더합니다.

$K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$

단계 4.3

$- \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.3.1.1

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$K = - \frac{1}{5 \cdot 1^{5}}$

단계 4.3.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$K = - \frac{1}{5 \cdot 1}$

단계 4.3.2

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$K = - \frac{1}{5}$

단계 5

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$ 의 $K$ 에 $- \frac{1}{5}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$K$ 에 $- \frac{1}{5}$ 를 대입합니다.

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x - \frac{1}{5}$