미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$

단계 1

$\frac{y}{x}$ 의 함수로 미분 방정식을 다시 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$ 를 나누어 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분수 $\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$ 를 두 개의 분수로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - x y}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

단계 1.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

$x^{2} - x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x - x y}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

단계 1.1.2.1.1.2

$- x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

단계 1.1.2.1.1.3

$x \cdot x + x (- 1 y)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - 1 y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

단계 1.1.2.1.2

$- 1 y$ 을 $- y$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

단계 1.1.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

단계 1.1.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

단계 1.1.2.3

분수 $\frac{x - y}{y}$ 를 두 개의 분수로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{- y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

단계 1.1.2.4

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{- y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

단계 1.1.2.4.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y^{2}}{x y}$

단계 1.1.2.5

$y^{2}$ 및 $y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.1

$y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{x y}$

단계 1.1.2.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.2.1

$x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{y x}$

단계 1.1.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{y x}$

단계 1.1.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y}{x}$

단계 1.2

$\frac{x}{y}$ 을 ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} - 1 + \frac{y}{x}$

단계 2

$V = \frac{y}{x}$ 라고 두고, $V$ 를 $\frac{y}{x}$ 에 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = V^{- 1} - 1 + V$

단계 3

$V = \frac{y}{x}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

$y = V x$

단계 4

곱의 미분 법칙을 사용해 $x$ 에 대하여 $y = V x$ 의 도함수를 구합니다.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

단계 5

$\frac{d y}{d x}$ 에 $x \frac{d V}{d x} + V$ 를 대입합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{- 1} - 1 + V$

단계 6

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{V} - 1 + V$

단계 6.1.1.2

$\frac{d V}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.1

방정식의 양변에서 $V$ 를 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + V - V$

단계 6.1.1.2.2

$\frac{1}{V} - 1 + V - V$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.2.1

$V$ 에서 $V$ 을 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + 0$

단계 6.1.1.2.2.2

$\frac{1}{V} - 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$

단계 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

단계 6.1.1.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

단계 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

단계 6.1.1.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.3.1.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x}$

단계 6.1.1.3.3.1.2

$\frac{1}{V}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{- 1}{x}$

단계 6.1.1.3.3.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{1}{x}$

단계 6.1.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{V}{V}$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{V}{V}$

단계 6.1.2.2

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $V x$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.2.1

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{V}{V}$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{V}{x V}$

단계 6.1.2.2.2

$x V$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{V}{V x}$

단계 6.1.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - V}{V x}$

단계 6.1.3

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - V}{V} \cdot \frac{1}{x}$

단계 6.1.4

양변에 $\frac{V}{1 - V}$ 을 곱합니다.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} (\frac{1 - V}{V} \cdot \frac{1}{x})$

단계 6.1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.5.1

$\frac{1 - V}{V}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V x}$

단계 6.1.5.2

$V$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.5.2.1

$V x$ 에서 $V$ 를 인수분해합니다.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V (x)}$

단계 6.1.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V x}$

단계 6.1.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{x}$

단계 6.1.5.3

$1 - V$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.5.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{x}$

단계 6.1.5.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

단계 6.1.6

식을 다시 씁니다.

$\frac{V}{1 - V} d V = \frac{1}{x} d x$

단계 6.2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{V}{1 - V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$1$ 와 $- V$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \frac{V}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.2

$V$ 을 $- V + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$V$

$1$

$V$

$0$

단계 6.2.2.2.2

피제수 $V$ 의 고차항을 제수 $- V$ 의 고차항으로 나눕니다.

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$

단계 6.2.2.2.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				+	$V$	-	$1$

단계 6.2.2.2.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $V - 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				-	$V$	+	$1$

단계 6.2.2.2.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				-	$V$	+	$1$
						+	$1$

단계 6.2.2.2.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int - 1 + \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - 1 d V + \int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.4

상수 규칙을 적용합니다.

$- V + C_{1} + \int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.5

먼저 $u = - V + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d V$ 이므로 $- d u = d V$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.5.1

$u = - V + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d V}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.5.1.1

다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1}$

단계 6.2.2.5.1.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1$

단계 6.2.2.5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- V + C_{1} + \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- V + C_{1} + \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.7

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- V + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.8

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- V + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.9

간단히 합니다.

$- V - \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.10

$u$ 를 모두 $- V + 1$ 로 바꿉니다.

$- V - \ln (| - V + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$- V - \ln (| - V + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

단계 6.2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- V - \ln (| - V + 1 |) = \ln (| x |) + C$

단계 7

$V$ 에 $\frac{y}{x}$ 를 대입합니다.

$- \frac{y}{x} - \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$

단계 8

$- \frac{y}{x} - \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) - \ln (| x |) = \frac{y}{x} + C$

단계 8.2

방정식의 양변에 $\ln (| x |)$ 를 더합니다.

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$

단계 8.3

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)}{- 1} = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

단계 8.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)}{1} = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

단계 8.3.2.2

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

단계 8.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.3.1.1

$\frac{\frac{y}{x}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - 1 \cdot \frac{y}{x} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

단계 8.3.3.1.2

$- 1 \cdot \frac{y}{x}$ 을 $- \frac{y}{x}$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

단계 8.3.3.1.3

$\frac{C}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

단계 8.3.3.1.4

$- 1 \cdot C$ 을 $- C$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

단계 8.3.3.1.5

$\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

단계 8.3.3.1.6

$- 1 \cdot \ln (| x |)$ 을 $- \ln (| x |)$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C - \ln (| x |)$

단계 8.4

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) + \ln (| x |) = - \frac{y}{x} - C$

단계 8.5

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 | | x |) = - \frac{y}{x} - C$

단계 8.6

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\ln (| (- \frac{y}{x} + 1) x |) = - \frac{y}{x} - C$

단계 8.7

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| - \frac{y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

단계 8.8

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.8.1

$- \frac{y}{x}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\ln (| \frac{- y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

단계 8.8.2

공약수로 약분합니다.

$\ln (| \frac{- y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

단계 8.8.3

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| - y + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

단계 8.9

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| - y + x |) = - \frac{y}{x} - C$