미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = - 7 x^{6} e^{- x^{7}}$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = - 7 x^{6} e^{- x^{7}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int - 7 x^{6} e^{- x^{7}} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int - 7 x^{6} e^{- x^{7}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 7$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 7$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - 7 \int x^{6} e^{- x^{7}} d x$

단계 2.3.2

먼저 $u_{2} = e^{- x^{7}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - 7 x^{6} e^{- x^{7}} d x$ 이므로 $- \frac{1}{7} d u_{2} = x^{6} e^{- x^{7}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$u_{2} = e^{- x^{7}}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$e^{- x^{7}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{7}}]$

단계 2.3.2.1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x^{7}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $- x^{7}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{7}]$

단계 2.3.2.1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{7}]$

단계 2.3.2.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $- x^{7}$ 로 바꿉니다.

$e^{- x^{7}} \frac{d}{d x} [- x^{7}]$

단계 2.3.2.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{7}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{7}]$ 입니다.

$e^{- x^{7}} (- \frac{d}{d x} [x^{7}])$

단계 2.3.2.1.3.2

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{- x^{7}} (- (7 x^{6}))$

단계 2.3.2.1.3.3

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- x^{7}} (- 7 x^{6})$

단계 2.3.2.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.4.1

$e^{- x^{7}} (- 7 x^{6})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- 7 e^{- x^{7}} x^{6}$

단계 2.3.2.1.4.2

$- 7 e^{- x^{7}} x^{6}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 7 x^{6} e^{- x^{7}}$

단계 2.3.2.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = - 7 \int \frac{1}{- 7} d u_{2}$

단계 2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + C_{1} = - 7 \int - \frac{1}{7} d u_{2}$

단계 2.3.4

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = - 7 (- \frac{1}{7} u_{2} + C_{2})$

단계 2.3.5

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

간단히 합니다.

$y + C_{1} = - 7 (- \frac{1}{7} u_{2}) + C_{2}$

단계 2.3.5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.1

$u_{2}$ 와 $\frac{1}{7}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = - 7 (- \frac{u_{2}}{7}) + C_{2}$

단계 2.3.5.2.2

$- 1$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = 7 \frac{u_{2}}{7} + C_{2}$

단계 2.3.5.2.3

$7$ 와 $\frac{u_{2}}{7}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{7 u_{2}}{7} + C_{2}$

단계 2.3.5.2.4

$7$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = \frac{7 u_{2}}{7} + C_{2}$

단계 2.3.5.2.4.2

$u_{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

단계 2.3.5.3

$u_{2}$ 를 모두 $e^{- x^{7}}$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = e^{- x^{7}} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = e^{- x^{7}} + K$