미적분 예제

cari $\frac{d y}{d x}$ jika $4 x y - 3 y = 1$

단계 1

문제를 수학식으로 표현합니다.

$\frac{d y}{d x} \cdot 4 x y - 3 y = 1$

단계 2

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$\frac{d y}{d x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$4 \frac{d y}{d x} x y - 3 y = 1$

단계 2.1.2

방정식의 양변에 $3 y$ 를 더합니다.

$4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$

단계 2.1.3

$4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$ 의 각 항을 $4 x y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$ 의 각 항을 $4 x y$ 로 나눕니다.

$\frac{4 \frac{d y}{d x} x y}{4 x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

단계 2.1.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \frac{d y}{d x} x y}{4 x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

단계 2.1.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} x y}{x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

단계 2.1.3.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} x y}{x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

단계 2.1.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} y}{y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

단계 2.1.3.2.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} y}{y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

단계 2.1.3.2.3.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

단계 2.1.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.3.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

단계 2.1.3.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3}{4 x}$

단계 2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{3}{4 x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3}{4 x} \cdot \frac{y}{y}$

단계 2.2.2

$\frac{3}{4 x}$ 에 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

단계 2.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + 3 y}{4 x y}$

단계 2.3

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + 3 y}{4 y} \cdot \frac{1}{x}$

단계 2.4

양변에 $\frac{4 y}{1 + 3 y}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} (\frac{1 + 3 y}{4 y} \cdot \frac{1}{x})$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$\frac{1 + 3 y}{4 y}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y x}$

단계 2.5.2

$4 y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$4 y x$ 에서 $4 y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y (x)}$

단계 2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y x}$

단계 2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{x}$

단계 2.5.3

$1 + 3 y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{x}$

단계 2.5.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

단계 2.6

식을 다시 씁니다.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} d y = \frac{1}{x} d x$

단계 3

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{4 y}{1 + 3 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$4$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int \frac{y}{1 + 3 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.2

$1$ 와 $3 y$ 을 다시 정렬합니다.

$4 \int \frac{y}{3 y + 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.3

$y$ 을 $3 y + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$3 y$

$1$

$y$

$0$

단계 3.2.3.2

피제수 $y$ 의 고차항을 제수 $3 y$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$\frac{1}{3}$
	$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$

단계 3.2.3.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$\frac{1}{3}$

단계 3.2.3.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $y + \frac{1}{3}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{3}$

단계 3.2.3.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{3}$
					-	$\frac{1}{3}$

단계 3.2.3.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$4 \int \frac{1}{3} - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$4 (\int \frac{1}{3} d y + \int - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.5

상수 규칙을 적용합니다.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} + \int - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.6

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} - \int \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.7

$\frac{1}{3}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 y + 1} d y)) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.8

$\frac{1}{3}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 y + 1} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.9

먼저 $u = 3 y + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d y$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.9.1

$u = 3 y + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.9.1.1

$3 y + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [3 y + 1]$

단계 3.2.9.1.2

합의 법칙에 의해 $3 y + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 3.2.9.1.3

$\frac{d}{d y} [3 y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.9.1.3.1

$3$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $3 y$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 3.2.9.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

단계 3.2.9.1.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 + \frac{d}{d y} [1]$

단계 3.2.9.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.9.1.4.1

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$3 + 0$

단계 3.2.9.1.4.2

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3$

단계 3.2.9.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.10.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.10.2

$u$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.11

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.12.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.12.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{9} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.13

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{9} (\ln (| u |) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.14

간단히 합니다.

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| u |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.15

$u$ 를 모두 $3 y + 1$ 로 바꿉니다.

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

단계 3.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) = \ln (| x |) + C$