미적분 예제

$(x^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $(x^{2} + 1) d x$ 를 뺍니다.

$x^{2} y^{2} d y = - (x^{2} + 1) d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$x^{2} y^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

단계 3.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

단계 3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y^{2} d y = - \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) d x$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} d y = (- \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

단계 3.4

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$- \frac{1}{x^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

단계 3.4.2

공약수로 약분합니다.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

단계 3.4.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} d y = (- 1 - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

단계 3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} d y = (- 1 - \frac{1}{x^{2}}) d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y^{2} d y = \int - 1 - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.2

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.3.2

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.3.4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 4.3.4.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 4.3.4.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int x^{- 2} d x$

단계 4.3.5

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - (- x^{- 1} + C_{3})$

단계 4.3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.6.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x - - \frac{1}{x} + C_{4}$

단계 4.3.6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.6.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + 1 \frac{1}{x} + C_{4}$

단계 4.3.6.2.2

$\frac{1}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + \frac{1}{x} + C_{4}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{3} y^{3} = - x + \frac{1}{x} + K$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

방정식의 양변에 $3$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

단계 5.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

단계 5.2.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

단계 5.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

단계 5.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$3 (- x + \frac{1}{x} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{3} = 3 (- x) + 3 \frac{1}{x} + 3 K$

단계 5.2.2.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.2.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y^{3} = - 3 x + 3 \frac{1}{x} + 3 K$

단계 5.2.2.1.2.2

$3$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$y^{3} = - 3 x + \frac{3}{x} + 3 K$

단계 5.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \sqrt[3]{- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K}$

단계 5.4

$\sqrt[3]{- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1

$- 3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \sqrt[3]{3 (- x) + \frac{3}{x} + 3 K}$

단계 5.4.1.2

$\frac{3}{x}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \sqrt[3]{3 (- x) + 3 \frac{1}{x} + 3 K}$

단계 5.4.1.3

$3 (- x) + 3 \frac{1}{x}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \sqrt[3]{3 (- x + \frac{1}{x}) + 3 K}$

단계 5.4.1.4

$3 (- x + \frac{1}{x}) + 3 K$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \sqrt[3]{3 (- x + \frac{1}{x} + K)}$

단계 5.4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- x$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{3 (- x \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} + K)}$

단계 5.4.3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1

$- x$ 와 $\frac{x}{x}$ 을 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x}{x} + \frac{1}{x} + K)}$

단계 5.4.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x + 1}{x} + K)}$

단계 5.4.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.4.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x + 1^{2}}{x} + K)}$

단계 5.4.4.2

$x \cdot x$ 을 $x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x^{2} + 1^{2}}{x} + K)}$

단계 5.4.4.3

$- x^{2}$ 와 $1^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{1^{2} - x^{2}}{x} + K)}$

단계 5.4.4.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} + K)}$

단계 5.4.5

공통 분모를 가지는 분수로 $K$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} + \frac{K x}{x})}$

단계 5.4.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{(1 + x) (1 - x) + K x}{x}}$

단계 5.4.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.7.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + x) (1 - x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.7.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 (1 - x) + x (1 - x) + K x}{x}}$

단계 5.4.7.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) + K x}{x}}$

단계 5.4.7.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

단계 5.4.7.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.7.2.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

단계 5.4.7.2.1.2

$- x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

단계 5.4.7.2.1.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x + x (- x) + K x}{x}}$

단계 5.4.7.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - x \cdot x + K x}{x}}$

단계 5.4.7.2.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.7.2.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - (x \cdot x) + K x}{x}}$

단계 5.4.7.2.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - x^{2} + K x}{x}}$

단계 5.4.7.2.2

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 + 0 - x^{2} + K x}{x}}$

단계 5.4.7.2.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x^{2} + K x}{x}}$

단계 5.4.8

$3$ 와 $\frac{1 - x^{2} + K x}{x}$ 을 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (1 - x^{2} + K x)}{x}}$

단계 5.4.9

$\sqrt[3]{\frac{3 (1 - x^{2} + K x)}{x}}$ 을 $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$

단계 5.4.10

$\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

단계 5.4.11

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.11.1

$\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

단계 5.4.11.2

$\sqrt[3]{x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

단계 5.4.11.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

단계 5.4.11.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

단계 5.4.11.5

${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 을 $x$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.11.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

단계 5.4.11.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

단계 5.4.11.5.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

단계 5.4.11.5.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.11.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

단계 5.4.11.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

단계 5.4.11.5.5

간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

단계 5.4.12

${\sqrt[3]{x}}^{2}$ 을 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

단계 5.4.13

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x) x^{2}}}{x}$

단계 5.4.14

$\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x) x^{2}}}{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (1 - x^{2} + K x)}}{x}$