미적분 예제

$y' \tan (x) = 2 y - 8$

단계 1

미분 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$

단계 2

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$ 의 각 항을 $\tan (x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$ 의 각 항을 $\tan (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} \tan (x)}{\tan (x)} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

단계 2.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$\tan (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} \tan (x)}{\tan (x)} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

단계 2.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

단계 2.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1.1

분수를 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{1}{\tan (x)}$

단계 2.1.3.1.2

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

단계 2.1.3.1.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

단계 2.1.3.1.4

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 $\cot (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cot (x)$

단계 2.1.3.1.5

$- 8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$

단계 2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{2 y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$\frac{2 y}{\tan (x)}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = 2 \frac{y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$

단계 2.2.1.2

$- 8 \cot (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = 2 \frac{y}{\tan (x)} + 2 (- 4 \cot (x))$

단계 2.2.1.3

$2 \frac{y}{\tan (x)} + 2 (- 4 \cot (x))$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{\tan (x)} - 4 \cot (x))$

단계 2.2.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

분수를 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\tan (x)} - 4 \cot (x))$

단계 2.2.2.2

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} - 4 \cot (x))$

단계 2.2.2.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 4 \cot (x))$

단계 2.2.2.4

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 $\cot (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cot (x) - 4 \cot (x))$

단계 2.2.2.5

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = 2 (y \cot (x) - 4 \cot (x))$

단계 2.2.3

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$y \cot (x) - 4 \cot (x)$ 에서 $\cot (x)$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.1

$y \cot (x)$ 에서 $\cot (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) y - 4 \cot (x))$

단계 2.2.3.1.2

$- 4 \cot (x)$ 에서 $\cot (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) y + \cot (x) \cdot - 4)$

단계 2.2.3.1.3

$\cot (x) y + \cot (x) \cdot - 4$ 에서 $\cot (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) (y - 4))$

단계 2.2.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$\frac{d y}{d x} = 2 \cot (x) (y - 4)$

단계 2.3

양변에 $\frac{1}{y - 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 4} (2 \cot (x) (y - 4))$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y - 4} (\cot (x) (y - 4))$

단계 2.4.2

$2$ 와 $\frac{1}{y - 4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} (\cot (x) (y - 4))$

단계 2.4.3

$y - 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.1

$\cot (x) (y - 4)$ 에서 $y - 4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} ((y - 4) \cot (x))$

단계 2.4.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} ((y - 4) \cot (x))$

단계 2.4.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = 2 \cot (x)$

단계 2.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y - 4} d y = 2 \cot (x) d x$

단계 3

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y - 4} d y = \int 2 \cot (x) d x$

단계 3.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

먼저 $u = y - 4$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$u = y - 4$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$y - 4$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y - 4]$

단계 3.2.1.1.2

합의 법칙에 의해 $y - 4$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

단계 3.2.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [- 4]$

단계 3.2.1.1.4

$- 4$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$1 + 0$

단계 3.2.1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 3.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 \cot (x) d x$

단계 3.2.2

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 \cot (x) d x$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $y - 4$ 로 바꿉니다.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \int 2 \cot (x) d x$

단계 3.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 \int \cot (x) d x$

단계 3.3.2

$\cot (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sin (x) |)$ 입니다.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 (\ln (| \sin (x) |) + C_{2})$

단계 3.3.3

간단히 합니다.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 \ln (| \sin (x) |) + C_{2}$

단계 3.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y - 4 |) = 2 \ln (| \sin (x) |) + C$

단계 4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y - 4 |) - 2 \ln (| \sin (x) |) = C$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$\ln (| y - 4 |) - 2 \ln (| \sin (x) |)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln (| \sin (x) |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln (| y - 4 |) - \ln ({| \sin (x) |}^{2}) = C$

단계 4.2.1.1.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| \sin (x) |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$\ln (| y - 4 |) - \ln (\sin^{2} (x)) = C$

단계 4.2.1.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| y - 4 |}{\sin^{2} (x)}) = C$

단계 4.2.1.3

$1$ 을 곱합니다.

$\ln (\frac{| y - 4 |}{\sin^{2} (x) \cdot 1}) = C$

단계 4.2.1.4

분수를 나눕니다.

$\ln (\frac{| y - 4 |}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}) = C$

단계 4.2.1.5

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 을 $\csc^{2} (x)$ 로 변환합니다.

$\ln (\frac{| y - 4 |}{1} \csc^{2} (x)) = C$

단계 4.2.1.6

$| y - 4 |$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x)) = C$

단계 4.3

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x))} = e^{C}$

단계 4.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x)) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = | y - 4 | \csc^{2} (x)$

단계 4.5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$

단계 4.5.2

$| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ 의 각 항을 $\csc^{2} (x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1

$| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ 의 각 항을 $\csc^{2} (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{| y - 4 | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

단계 4.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.2.1

$\csc^{2} (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{| y - 4 | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

단계 4.5.2.2.1.2

$| y - 4 |$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$| y - 4 | = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

단계 4.5.3

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y - 4 = \pm \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

단계 4.5.4

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$y = \pm \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)} + 4$

단계 5

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \pm \frac{C}{\csc^{2} (x)} + 4$

단계 5.2

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C \frac{1}{\csc^{2} (x)} + 4$