미적분 예제

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{4} - 3 x$

단계 1

방정식 좌변이 $x y$ 항의 도함수 결과값인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x y' + y \cdot 1$

단계 1.4

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

단계 1.5

$y$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

단계 1.6

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x \frac{d y}{d x} + y$

단계 2

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x y] = x^{4} - 3 x$

단계 3

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x^{4} - 3 x d x$

단계 4

좌변을 적분합니다.

$x y = \int x^{4} - 3 x d x$

단계 5

우변을 적분합니다.

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단계 5.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$x y = \int x^{4} d x + \int - 3 x d x$

단계 5.2

멱의 법칙에 의해 $x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} x^{5}$ 가 됩니다.

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C + \int - 3 x d x$

단계 5.3

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 3 \int x d x$

단계 5.4

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

단계 5.5

간단히 합니다.

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단계 5.5.1

간단히 합니다.

$x y = \frac{1}{5} x^{5} - 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

단계 5.5.2

간단히 합니다.

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단계 5.5.2.1

$- 3$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{- 3}{2} x^{2} + C$

단계 5.5.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$

단계 6

$x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1.1

$x^{5}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.1.1.1

$\frac{1}{5} x^{5}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x^{1}} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.3.1.1.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.3.1.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.3.1.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{4}}{1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.3.1.1.2.5

$\frac{1}{5} x^{4}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{1}{5} x^{4} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.3.1.2

$\frac{1}{5}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.3.1.3

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.1.3.1

$- \frac{3}{2} x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.3.1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

단계 6.3.1.3.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

단계 6.3.1.3.2.3

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

단계 6.3.1.3.2.4

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{- \frac{3}{2} x}{1} + \frac{C}{x}$

단계 6.3.1.3.2.5

$- \frac{3}{2} x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{3}{2} x + \frac{C}{x}$

단계 6.3.1.4

$x$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{C}{x}$

단계 6.3.1.5

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{3 x}{2} + \frac{C}{x}$