미적분 예제

$\frac{d y}{d x} - 2 x \ln (x^{2} + 1) = 0$

단계 1

변수를 분리합니다.

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단계 1.1

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln (x^{2} + 1)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{d y}{d x} + x (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) = 0$

단계 1.1.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} - x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) = 0$

단계 1.1.2

방정식의 양변에 $x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ 를 더합니다.

$\frac{d y}{d x} = x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$

단계 1.2

식을 다시 씁니다.

$d y = x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ 을 $x (2 \ln (x^{2} + 1))$ 로 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \int x (2 \ln (x^{2} + 1)) d x$

단계 2.3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 2 \int x (\ln (x^{2} + 1)) d x$

단계 2.3.3

$u = \ln (x^{2} + 1)$ 이고 $d v = x$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$y + C_{1} = 2 (\ln (x^{2} + 1) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x)$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

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단계 2.3.4.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = 2 (\ln (x^{2} + 1) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x)$

단계 2.3.4.2

$\ln (x^{2} + 1)$ 와 $\frac{x^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x)$

단계 2.3.4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x)$

단계 2.3.4.4

$\frac{x^{2}}{2}$ 에 $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2} (2 x)}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

단계 2.3.4.5

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.4.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

단계 2.3.4.5.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.4.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

단계 2.3.4.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{1 + 2} \cdot 2}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

단계 2.3.4.5.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{3} \cdot 2}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

단계 2.3.4.6

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{2 \cdot x^{3}}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

단계 2.3.4.7

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.4.7.1

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{2 x^{3}}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

단계 2.3.4.7.2

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} d x)$

단계 2.3.5

$x^{3}$ 을 $x^{2} + 1$ 로 나눕니다.

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단계 2.3.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

단계 2.3.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

단계 2.3.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

단계 2.3.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} + 0 + x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

단계 2.3.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

단계 2.3.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$0$

단계 2.3.5.7

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int x + \frac{- x}{x^{2} + 1} d x)$

단계 2.3.6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\int x d x + \int \frac{- x}{x^{2} + 1} d x))$

단계 2.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\int x d x + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x))$

단계 2.3.8

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x))$

단계 2.3.9

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x))$

단계 2.3.10

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x))$

단계 2.3.11

먼저 $u = x^{2} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.3.11.1

$u = x^{2} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.3.11.1.1

$x^{2} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2.3.11.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3.11.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3.11.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 x + 0$

단계 2.3.11.1.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 2.3.11.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u))$

단계 2.3.12

간단히 합니다.

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단계 2.3.12.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u))$

단계 2.3.12.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \int \frac{1}{2 u} d u))$

단계 2.3.13

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)))$

단계 2.3.14

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{3})))$

단계 2.3.15

간단히 합니다.

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단계 2.3.15.1

간단히 합니다.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln (| u |)}{2}) + C_{4}$

단계 2.3.15.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2} - x^{2}}{2} + \frac{\ln (| u |)}{2}) + C_{4}$

단계 2.3.16

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2} - x^{2}}{2} + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C_{4}$

단계 2.3.17

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.17.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y + C_{1} = 2 \frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2} - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C_{4}$

단계 2.3.17.2

$\ln (x^{2} + 1) x^{2} - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y + C_{1} = 2 \frac{x^{2} \ln (x^{2} + 1) - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C_{4}$

단계 2.3.17.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.17.3.1

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = 2 \frac{x^{2} \ln (x^{2} + 1) - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C_{4}$

단계 2.3.17.3.2

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = x^{2} \ln (x^{2} + 1) - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{4}$

단계 2.3.18

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{1} = - x^{2} + x^{2} \ln (x^{2} + 1) + \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$y = - x^{2} + x^{2} \ln (x^{2} + 1) + \ln (| x^{2} + 1 |) + C$