미적분 예제

$x e^{x^{2} + y} d x = y d y$

단계 1

완전미분 방정식 해법에 맞도록 미분 방정식을 다시 작성합니다.

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단계 1.1

방정식의 양변에서 $y d y$ 를 뺍니다.

$x e^{x^{2} + y} d x - y d y = 0$

단계 2

$M (x, y) = x e^{x^{2} + y}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x e^{x^{2} + y}]$

단계 2.2

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $x e^{x^{2} + y}$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [e^{x^{2} + y}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [e^{x^{2} + y}]$

단계 2.3

$f (y) = e^{y}$ , $g (y) = x^{2} + y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + y$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

단계 2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{u} \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + y$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

단계 2.4

미분합니다.

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단계 2.4.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]))$

단계 2.4.2

$x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} (0 + \frac{d}{d y} [y]))$

단계 2.4.3

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [y]$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \frac{d}{d y} [y])$

단계 2.4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \cdot 1)$

단계 2.4.5

$e^{x^{2} + y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x e^{x^{2} + y}$

단계 3

$N (x, y) = - y$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- y]$

단계 3.2

$- y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- y$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

단계 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $x e^{x^{2} + y}$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$x e^{x^{2} + y} = 0$

단계 4.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$x e^{x^{2} + y} = 0$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 5

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 5.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $x e^{x^{2} + y}$ 를 대입합니다.

$\frac{0 - (x e^{x^{2} + y})}{M}$

단계 5.3

$M$ 에 $x e^{x^{2} + y}$ 를 대입합니다.

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단계 5.3.1

$M$ 에 $x e^{x^{2} + y}$ 를 대입합니다.

$\frac{0 - (x e^{x^{2} + y})}{x e^{x^{2} + y}}$

단계 5.3.2

$0$ 에서 $x e^{x^{2} + y}$ 을 뺍니다.

$\frac{- x e^{x^{2} + y}}{x e^{x^{2} + y}}$

단계 5.3.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- x e^{x^{2} + y}}{x e^{x^{2} + y}}$

단계 5.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y}}$

단계 5.3.4

$M$ 에 $x e^{x^{2} + y}$ 를 대입합니다.

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단계 5.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y}}$

단계 5.3.4.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1$

단계 5.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

단계 6

적분 $e^{\int - 1 d y}$ 을 구합니다.

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단계 6.1

상수 규칙을 적용합니다.

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

단계 6.2

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

단계 7

$x e^{x^{2} + y} d x - y d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $e^{- y}$ 를 곱합니다.

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단계 7.1

$x e^{x^{2} + y}$ 에 $e^{- y}$ 을 곱합니다.

$x e^{x^{2} + y} e^{- y} d x - y d y = 0$

단계 7.2

지수를 더하여 $e^{x^{2} + y}$ 에 $e^{- y}$ 을 곱합니다.

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단계 7.2.1

$e^{- y}$ 를 옮깁니다.

$x (e^{- y} e^{x^{2} + y}) d x - y d y = 0$

단계 7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x e^{- y + x^{2} + y} d x - y d y = 0$

단계 7.2.3

$- y + x^{2} + y$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 7.2.3.1

$- y$ 를 $y$ 에 더합니다.

$x e^{x^{2} + 0} d x - y d y = 0$

단계 7.2.3.2

$x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x e^{x^{2}} d x - y d y = 0$

단계 7.3

$- y$ 에 $e^{- y}$ 을 곱합니다.

$x e^{x^{2}} d x - y e^{- y} d y = 0$

단계 8

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} d x$

단계 9

$M (x, y) = x e^{x^{2}}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 9.1

먼저 $u_{2} = e^{x^{2}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 9.1.1

$u_{2} = e^{x^{2}}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 9.1.1.1

$e^{x^{2}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

단계 9.1.1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 9.1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 9.1.1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 9.1.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 9.1.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x^{2}} (2 x)$

단계 9.1.1.4

간단히 합니다.

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단계 9.1.1.4.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$2 e^{x^{2}} x$

단계 9.1.1.4.2

$2 e^{x^{2}} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$2 x e^{x^{2}}$

단계 9.1.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 9.2

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} u_{2} + C$

단계 9.3

$u_{2}$ 를 모두 $e^{x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

단계 10

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - y e^{- y}$

단계 12

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 12.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)] = - y e^{- y}$

단계 12.2

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y e^{- y}$

단계 12.3

$\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y e^{- y}$

단계 12.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$0 + \frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

단계 12.5

$0$ 를 $\frac{d g}{d y}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

단계 13

$- y e^{- y}$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{- y} d y$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int - y e^{- y} d y$

단계 13.3

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = - \int y e^{- y} d y$

단계 13.4

$u = y$ 이고 $d v = e^{- y}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

단계 13.5

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

단계 13.6

간단히 합니다.

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단계 13.6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

단계 13.6.2

$\int e^{- y} d y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

단계 13.7

먼저 $u = - y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d y$ 이므로 $- d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 13.7.1

$u = - y$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

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단계 13.7.1.1

$- y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [- y]$

단계 13.7.1.2

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$- \frac{d}{d y} [y]$

단계 13.7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 13.7.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 13.7.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

단계 13.8

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

단계 13.9

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

단계 13.10

$- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ 을 $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

단계 13.11

$u$ 를 모두 $- y$ 로 바꿉니다.

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

단계 13.12

간단히 합니다.

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단계 13.12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

단계 13.12.2

$- (- y e^{- y})$ 을 곱합니다.

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단계 13.12.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

단계 13.12.2.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

단계 13.12.3

$- - e^{- y}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.12.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

단계 13.12.3.2

$e^{- y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

단계 14

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + y e^{- y} + e^{- y} + C$

단계 15

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{e^{x^{2}}}{2} + y e^{- y} + e^{- y} + C$