미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y^{3}$ , $f (1) = - 1$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{y^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (x^{2} y^{3})$

단계 1.2

$y^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x^{2} y^{3}$ 에서 $y^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x^{2})$

단계 1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x^{2})$

단계 1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{3}} d y = x^{2} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$y^{3}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2.1.2

${(y^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2.1.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int y^{- 3} d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{- 3}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int x^{2} d x$

단계 2.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ 을 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int x^{2} d x$

단계 2.2.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.1

$\frac{1}{y^{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int x^{2} d x$

단계 2.2.3.2.2

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int x^{2} d x$

단계 2.3

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{3}}{3} + K$

단계 3.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$2 y^{2}, 3, 1$

단계 3.2.2

$2 y^{2}, 3, 1$ 이 숫자와 변수를 모두 포함하므로 두 단계에 걸쳐 최소공배수를 구합니다. 숫자 부분인 $2, 3, 1$ 의 최소공배수를 구한 뒤 변수 부분 $y^{2}$ 의 최소공배수를 구합니다.

단계 3.2.3

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 3.2.4

$2$ 는 $1$ , $2$ 이외의 인수를 가지지 않습니다.

$2$ 는 소수입니다

단계 3.2.5

$3$ 는 $1$ , $3$ 이외의 인수를 가지지 않습니다.

$3$ 는 소수입니다

단계 3.2.6

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 3.2.7

$2, 3, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$2 \cdot 3$

단계 3.2.8

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6$

단계 3.2.9

$y^{2}$ 의 인수는 $y \cdot y$ 이며 $y$ 를 $2$ 번 곱한 값입니다.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ 는 $2$ 번 나타납니다.

단계 3.2.10

$y^{2}$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 소인수의 최대 개수 만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$y \cdot y$

단계 3.2.11

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$y^{2}$

단계 3.2.12

$2 y^{2}, 3, 1$ 의 최소공배수는 숫자 부분 $6$ 에 변수 부분을 곱한 값입니다.

$6 y^{2}$

단계 3.3

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{3}}{3} + K$ 의 각 항에 $6 y^{2}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{3}}{3} + K$ 의 각 항에 $6 y^{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 y^{2}} (6 y^{2}) = \frac{x^{3}}{3} (6 y^{2}) + K (6 y^{2})$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$2 y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

$- \frac{1}{2 y^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (6 y^{2}) = \frac{x^{3}}{3} (6 y^{2}) + K (6 y^{2})$

단계 3.3.2.1.2

$6 y^{2}$ 에서 $2 y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} (3)) = \frac{x^{3}}{3} (6 y^{2}) + K (6 y^{2})$

단계 3.3.2.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} \cdot 3) = \frac{x^{3}}{3} (6 y^{2}) + K (6 y^{2})$

단계 3.3.2.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- 1 \cdot 3 = \frac{x^{3}}{3} (6 y^{2}) + K (6 y^{2})$

단계 3.3.2.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 = \frac{x^{3}}{3} (6 y^{2}) + K (6 y^{2})$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 3 = 6 \frac{x^{3}}{3} y^{2} + K (6 y^{2})$

단계 3.3.3.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- 3 = 3 (2) \frac{x^{3}}{3} y^{2} + K (6 y^{2})$

단계 3.3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 3 = 3 \cdot 2 \frac{x^{3}}{3} y^{2} + K (6 y^{2})$

단계 3.3.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 3 = 2 x^{3} y^{2} + K (6 y^{2})$

단계 3.3.3.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 3 = 2 x^{3} y^{2} + 6 K y^{2}$

단계 3.4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$2 x^{3} y^{2} + 6 K y^{2} = - 3$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$2 x^{3} y^{2} + 6 K y^{2} = - 3$

단계 3.4.2

$2 x^{3} y^{2} + 6 K y^{2}$ 에서 $2 y^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$2 x^{3} y^{2}$ 에서 $2 y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 y^{2} (x^{3}) + 6 K y^{2} = - 3$

단계 3.4.2.2

$6 K y^{2}$ 에서 $2 y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 y^{2} (x^{3}) + 2 y^{2} (3 K) = - 3$

단계 3.4.2.3

$2 y^{2} (x^{3}) + 2 y^{2} (3 K)$ 에서 $2 y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 y^{2} (x^{3} + 3 K) = - 3$

단계 3.4.3

$2 y^{2} (x^{3} + 3 K) = - 3$ 의 각 항을 $2 (x^{3} + 3 K)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$2 y^{2} (x^{3} + 3 K) = - 3$ 의 각 항을 $2 (x^{3} + 3 K)$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y^{2} (x^{3} + 3 K)}{2 (x^{3} + 3 K)} = \frac{- 3}{2 (x^{3} + 3 K)}$

단계 3.4.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y^{2} (x^{3} + 3 K)}{2 (x^{3} + 3 K)} = \frac{- 3}{2 (x^{3} + 3 K)}$

단계 3.4.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{2} (x^{3} + 3 K)}{x^{3} + 3 K} = \frac{- 3}{2 (x^{3} + 3 K)}$

단계 3.4.3.2.2

$x^{3} + 3 K$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2} (x^{3} + 3 K)}{x^{3} + 3 K} = \frac{- 3}{2 (x^{3} + 3 K)}$

단계 3.4.3.2.2.2

$y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = \frac{- 3}{2 (x^{3} + 3 K)}$

단계 3.4.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y^{2} = - \frac{3}{2 (x^{3} + 3 K)}$

단계 3.4.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{3}{2 (x^{3} + 3 K)}}$

단계 3.4.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{- \frac{3}{2 (x^{3} + 3 K)}}$

단계 3.4.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.