미적분 예제

$2 y t^{3} d y + 3 y^{2} t^{2} d t = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $3 y^{2} t^{2} d t$ 를 뺍니다.

$2 y t^{3} d y = - 3 y^{2} t^{2} d t$

단계 2

양변에 $\frac{1}{t^{3} y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{t^{3} y^{2}} (2 y t^{3}) d y = \frac{1}{t^{3} y^{2}} (- 3 y^{2} t^{2}) d t$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 \frac{1}{t^{3} y^{2}} (y t^{3}) d y = \frac{1}{t^{3} y^{2}} (- 3 y^{2} t^{2}) d t$

단계 3.2

$2$ 와 $\frac{1}{t^{3} y^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{t^{3} y^{2}} (y t^{3}) d y = \frac{1}{t^{3} y^{2}} (- 3 y^{2} t^{2}) d t$

단계 3.3

$y t^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$t^{3} y^{2}$ 에서 $y t^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{y t^{3} (y)} (y t^{3}) d y = \frac{1}{t^{3} y^{2}} (- 3 y^{2} t^{2}) d t$

단계 3.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{y t^{3} y} (y t^{3}) d y = \frac{1}{t^{3} y^{2}} (- 3 y^{2} t^{2}) d t$

단계 3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{t^{3} y^{2}} (- 3 y^{2} t^{2}) d t$

단계 3.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2}{y} d y = - 3 \frac{1}{t^{3} y^{2}} (y^{2} t^{2}) d t$

단계 3.5

$- 3$ 와 $\frac{1}{t^{3} y^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{t^{3} y^{2}} (y^{2} t^{2}) d t$

단계 3.6

$y^{2} t^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$t^{3} y^{2}$ 에서 $y^{2} t^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{y^{2} t^{2} (t)} (y^{2} t^{2}) d t$

단계 3.6.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{y^{2} t^{2} t} (y^{2} t^{2}) d t$

단계 3.6.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{t} d t$

단계 3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2}{y} d y = - \frac{3}{t} d t$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{2}{y} d y = \int - \frac{3}{t} d t$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{t} d t$

단계 4.2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{3}{t} d t$

단계 4.2.3

간단히 합니다.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{3}{t} d t$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{3}{t} d t$

단계 4.3.2

$3$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{t} d t)$

단계 4.3.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{t} d t$

단계 4.3.4

$\frac{1}{t}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\ln (| t |)$ 입니다.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 (\ln (| t |) + C_{2})$

단계 4.3.5

간단히 합니다.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \ln (| t |) + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$2 \ln (| y |) = - 3 \ln (| t |) + C$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$2 \ln (| y |) + 3 \ln (| t |) = C$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$2 \ln (| y |) + 3 \ln (| t |)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln ({| y |}^{2}) + 3 \ln (| t |) = C$

단계 5.2.1.1.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| y |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$\ln (y^{2}) + 3 \ln (| t |) = C$

단계 5.2.1.1.3

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (| t |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln (y^{2}) + \ln ({| t |}^{3}) = C$

단계 5.2.1.2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (y^{2} {| t |}^{3}) = C$

단계 5.3

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (y^{2} {| t |}^{3})} = e^{C}$

단계 5.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (y^{2} {| t |}^{3}) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = y^{2} {| t |}^{3}$

단계 5.5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$y^{2} {| t |}^{3} = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$y^{2} {| t |}^{3} = e^{C}$

단계 5.5.2

$y^{2} {| t |}^{3} = e^{C}$ 의 각 항을 ${| t |}^{3}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1

$y^{2} {| t |}^{3} = e^{C}$ 의 각 항을 ${| t |}^{3}$ 로 나눕니다.

$\frac{y^{2} {| t |}^{3}}{{| t |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| t |}^{3}}$

단계 5.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.2.1

${| t |}^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2} {| t |}^{3}}{{| t |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| t |}^{3}}$

단계 5.5.2.2.1.2

$y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = \frac{e^{C}}{{| t |}^{3}}$

단계 5.5.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{e^{C}}{{| t |}^{3}}}$

단계 5.5.4

$\pm \sqrt{\frac{e^{C}}{{| t |}^{3}}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.1

$\frac{e^{C}}{{| t |}^{3}}$ 을 ${(\frac{1}{| t |})}^{2} \frac{e^{C}}{| t |}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.1.1

$e^{C}$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} e^{C}}{{| t |}^{3}}}$

단계 5.5.4.1.2

${| t |}^{3}$ 에서 완전제곱인 ${| t |}^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} e^{C}}{{| t |}^{2} | t |}}$

단계 5.5.4.1.3

분수 $\frac{1^{2} e^{C}}{{| t |}^{2} | t |}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{| t |})}^{2} \frac{e^{C}}{| t |}}$

단계 5.5.4.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm \frac{1}{| t |} \sqrt{\frac{e^{C}}{| t |}}$

단계 5.5.4.3

$\sqrt{\frac{e^{C}}{| t |}}$ 을 $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| t |}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{1}{| t |} \cdot \frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| t |}}$

단계 5.5.4.4

조합합니다.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{e^{C}}}{| t | \sqrt{| t |}}$

단계 5.5.4.5

$\sqrt{e^{C}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{| t | \sqrt{| t |}}$

단계 5.5.4.6

$\frac{\sqrt{e^{C}}}{| t | \sqrt{| t |}}$ 에 $\frac{\sqrt{| t |}}{\sqrt{| t |}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{| t | \sqrt{| t |}} \cdot \frac{\sqrt{| t |}}{\sqrt{| t |}}$

단계 5.5.4.7

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.7.1

$\frac{\sqrt{e^{C}}}{| t | \sqrt{| t |}}$ 에 $\frac{\sqrt{| t |}}{\sqrt{| t |}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | \sqrt{| t |} \sqrt{| t |}}$

단계 5.5.4.7.2

$\sqrt{| t |}$ 를 옮깁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | (\sqrt{| t |} \sqrt{| t |})}$

단계 5.5.4.7.3

$\sqrt{| t |}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | ({\sqrt{| t |}}^{1} \sqrt{| t |})}$

단계 5.5.4.7.4

$\sqrt{| t |}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | ({\sqrt{| t |}}^{1} {\sqrt{| t |}}^{1})}$

단계 5.5.4.7.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | {\sqrt{| t |}}^{1 + 1}}$

단계 5.5.4.7.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | {\sqrt{| t |}}^{2}}$

단계 5.5.4.7.7

${\sqrt{| t |}}^{2}$ 을 $| t |$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.7.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{| t |}$ 을(를) ${| t |}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | {({| t |}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 5.5.4.7.7.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | {| t |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 5.5.4.7.7.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | {| t |}^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.5.4.7.7.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.7.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | {| t |}^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.5.4.7.7.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | {| t |}^{1}}$

단계 5.5.4.7.7.5

간단히 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | | t |}$

단계 5.5.4.8

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | t |}}{| t | | t |}$

단계 5.5.4.9

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | t |}}{| t \cdot t |}$

단계 5.5.4.10

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.10.1

$t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | t |}}{| t^{2} |}$

단계 5.5.4.10.2

절댓값에서 음이 아닌 항을 제거합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | t |}}{t^{2}}$

단계 5.5.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | t |}}{t^{2}}$

단계 5.5.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.