미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = 2 - 0.02 y$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{2 - 0.02 y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 - 0.02 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - 0.02 y} (2 - 0.02 y)$

단계 1.2

$2 - 0.02 y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2 - 0.02 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - 0.02 y} (2 - 0.02 y)$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2 - 0.02 y} \frac{d y}{d x} = 1$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2 - 0.02 y} d y = 1 d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{2 - 0.02 y} d y = \int d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

먼저 $u = 2 - 0.02 y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 0.02 d y$ 이므로 $\frac{1}{- 0.02} d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$u = 2 - 0.02 y$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

다시 씁니다.

$\frac{- 0.02}{1}$

단계 2.2.1.1.2

$- 0.02$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 0.02$

단계 2.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{- 50}{u} d u = \int d x$

단계 2.2.2

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$\int - \frac{50}{u} d u = \int d x$

단계 2.2.3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{50}{u} d u = \int d x$

단계 2.2.4

$50$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $50$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (50 \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

단계 2.2.5

$50$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 50 \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

단계 2.2.6

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- 50 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

단계 2.2.7

간단히 합니다.

$- 50 \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

단계 2.2.8

$u$ 를 모두 $2 - 0.02 y$ 로 바꿉니다.

$- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) + C_{1} = \int d x$

단계 2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) + C_{1} = x + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) = x + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) = x + C$ 의 각 항을 $- 50$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) = x + C$ 의 각 항을 $- 50$ 로 나눕니다.

$\frac{- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |)}{- 50} = \frac{x}{- 50} + \frac{C}{- 50}$

단계 3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$- 50$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |)}{- 50} = \frac{x}{- 50} + \frac{C}{- 50}$

단계 3.1.2.1.2

$\ln (| 2 - 0.02 y |)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| 2 - 0.02 y |) = \frac{x}{- 50} + \frac{C}{- 50}$

단계 3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\ln (| 2 - 0.02 y |) = - \frac{x}{50} + \frac{C}{- 50}$

단계 3.1.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\ln (| 2 - 0.02 y |) = - \frac{x}{50} - \frac{C}{50}$

단계 3.2

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| 2 - 0.02 y |)} = e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}$

단계 3.3

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| 2 - 0.02 y |) = - \frac{x}{50} - \frac{C}{50}$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}} = | 2 - 0.02 y |$

단계 3.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$| 2 - 0.02 y | = e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| 2 - 0.02 y | = e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}$

단계 3.4.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$2 - 0.02 y = \pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}$

단계 3.4.3

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$- 0.02 y = \pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}} - 2$

단계 3.4.4

$- 0.02 y = \pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}} - 2$ 의 각 항을 $- 0.02$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

$- 0.02 y = \pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}} - 2$ 의 각 항을 $- 0.02$ 로 나눕니다.

$\frac{- 0.02 y}{- 0.02} = \frac{\pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}}{- 0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

단계 3.4.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1

$- 0.02$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 0.02 y}{- 0.02} = \frac{\pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}}{- 0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

단계 3.4.4.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}}{- 0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

단계 3.4.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.3.1.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{- 0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

단계 3.4.4.3.1.2

$\frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{- 0.02}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

단계 3.4.4.3.1.3

$1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{- x - C}{50}})}{0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

단계 3.4.4.3.1.4

$0.02$ 에서 $0.02$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{- x - C}{50}})}{0.02 (1)} + \frac{- 2}{- 0.02}$

단계 3.4.4.3.1.5

분수를 나눕니다.

$y = \frac{1}{0.02} \cdot \frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{1} + \frac{- 2}{- 0.02}$

단계 3.4.4.3.1.6

$1$ 을 $0.02$ 로 나눕니다.

$y = 50 \frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{1} + \frac{- 2}{- 0.02}$

단계 3.4.4.3.1.7

$\pm e^{\frac{- x - C}{50}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = 50 (\pm e^{\frac{- x - C}{50}}) + \frac{- 2}{- 0.02}$

단계 3.4.4.3.1.8

$- 2$ 을 $- 0.02$ 로 나눕니다.

$y = 50 (\pm e^{\frac{- x - C}{50}}) + 100$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = 50 (\pm e^{\frac{- x + C}{50}}) + 100$