미적분 예제

$4 e^{4 y} \frac{d y}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 e^{4 y}$

단계 1

$v = e^{4 y}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $e^{4 y}$ 를 $v$ 로 바꿉니다.

$4 v \frac{d y}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

단계 2

$e^{4 y}$ 를 미분하여 $\frac{d v}{d x}$ 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 4 y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 y]$

단계 2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [4 y]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $4 y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} \frac{d}{d x} [4 y]$

단계 2.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 y$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} (4 \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} (4 y')$

단계 2.4

$e^{4 y} (4 y')$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d v}{d x} = 4 e^{4 y} y'$

단계 3

$e^{4 y}$ 에 $v$ 를 대입합니다.

$\frac{d v}{d x} = 4 v y'$

단계 4

도함수를 다시 미분 방정식에 대입합니다.

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단계 4.1

공약수로 약분합니다.

$4 v \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

단계 4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

단계 5

방정식의 양변에서 $3 v$ 를 뺍니다.

$\frac{d v}{d x} - 3 v = 2 x e^{3 x}$

단계 6

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = - 3$ 입니다.

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단계 6.1

적분을 구합니다.

$e^{\int - 3 d x}$

단계 6.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{- 3 x + C}$

단계 6.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- 3 x}$

단계 7

각 항에 적분 인수 $e^{- 3 x}$ 을 곱합니다.

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단계 7.1

각 항에 $e^{- 3 x}$ 을 곱합니다.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 v) = e^{- 3 x} (2 x e^{3 x})$

단계 7.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = e^{- 3 x} (2 x e^{3 x})$

단계 7.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{- 3 x} (x e^{3 x})$

단계 7.4

지수를 더하여 $e^{- 3 x}$ 에 $e^{3 x}$ 을 곱합니다.

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단계 7.4.1

$e^{3 x}$ 를 옮깁니다.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 (e^{3 x} e^{- 3 x}) x$

단계 7.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{3 x - 3 x} x$

단계 7.4.3

$3 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{0} x$

단계 7.5

$2 e^{0} x$ 을 간단히 합니다.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 x$

단계 7.6

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 v e^{- 3 x} = 2 x$

단계 8

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} v] = 2 x$

단계 9

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} v] d x = \int 2 x d x$

단계 10

좌변을 적분합니다.

$e^{- 3 x} v = \int 2 x d x$

단계 11

우변을 적분합니다.

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단계 11.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- 3 x} v = 2 \int x d x$

단계 11.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$e^{- 3 x} v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

단계 11.3

답을 간단히 합니다.

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단계 11.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 을 $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{- 3 x} v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

단계 11.3.2

간단히 합니다.

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단계 11.3.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{- 3 x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

단계 11.3.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{- 3 x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

단계 11.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{- 3 x} v = 1 x^{2} + C$

단계 11.3.2.3

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- 3 x} v = x^{2} + C$

단계 12

$e^{- 3 x} v = x^{2} + C$ 의 각 항을 $e^{- 3 x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 12.1

$e^{- 3 x} v = x^{2} + C$ 의 각 항을 $e^{- 3 x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{- 3 x} v}{e^{- 3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

단계 12.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 12.2.1

$e^{- 3 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{- 3 x} v}{e^{- 3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

단계 12.2.1.2

$v$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$v = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

단계 13

$v$ 를 모두 $e^{4 y}$ 로 바꿉니다.

$e^{4 y} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

단계 14

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 14.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{4 y}) = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

단계 14.2

왼편을 확장합니다.

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단계 14.2.1

$4 y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{4 y})$ 을 전개합니다.

$4 y \ln (e) = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

단계 14.2.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$4 y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

단계 14.2.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

단계 14.3

$4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 14.3.1

$4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

단계 14.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 14.3.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 14.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

단계 14.3.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$