미적분 예제

$x (1 + x^{2}) d x + y (1 + y^{2}) d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $x (1 + x^{2}) d x$ 를 뺍니다.

$y (1 + y^{2}) d y = - x (1 + x^{2}) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y (1 + y^{2}) d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

간단히 합니다.

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단계 2.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int y \cdot 1 + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

단계 2.2.1.2

$y$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int 1 \cdot y + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

단계 2.2.1.3

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int y + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

단계 2.2.1.4

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int y + y^{1} y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

단계 2.2.1.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int y + y^{1 + 2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

단계 2.2.1.6

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int y + y^{3} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

단계 2.2.1.7

$y$ 와 $y^{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int y^{3} + y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

단계 2.2.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int y^{3} d y + \int y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

단계 2.2.3

멱의 법칙에 의해 $y^{3}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} y^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

단계 2.2.4

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int - x (1 + x^{2}) d x$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - x (1 + x^{2}) d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

먼저 $u = 1 + x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.3.1.1

$u = 1 + x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.3.1.1.1

$1 + x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

단계 2.3.1.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3.1.1.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3.1.1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 x$

단계 2.3.1.1.5

$0$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 2.3.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - u \frac{1}{2} d u$

단계 2.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $u$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - \frac{u}{2} d u$

단계 2.3.3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \int \frac{u}{2} d u$

단계 2.3.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - (\frac{1}{2} \int u d u)$

단계 2.3.5

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{4})$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

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단계 2.3.6.1

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{4})$ 을 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{4}$

단계 2.3.6.2

간단히 합니다.

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단계 2.3.6.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2 \cdot 2} u^{2} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{4} u^{2} + C_{4}$

단계 2.3.7

$u$ 를 모두 $1 + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{4} {(1 + x^{2})}^{2} + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{4} {(1 + x^{2})}^{2} + K$