미적분 예제

$\frac{d r}{d θ} = \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ)$ , $r (\frac{π}{4}) = 3$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d r = \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d r = \int \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$r + C_{1} = \int \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

먼저 $u_{2} = \csc (7 θ)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - 7 \cot (7 θ) \csc (7 θ) d θ$ 이므로 $- \frac{1}{7} d u_{2} = \cot (7 θ) \csc (7 θ) d θ$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$u_{2} = \csc (7 θ)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d θ}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.1

$\csc (7 θ)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d θ} [\csc (7 θ)]$

단계 2.3.1.1.2

$f (θ) = \csc (θ)$ , $g (θ) = 7 θ$ 일 때 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 는 $f' (g (θ)) g' (θ)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $7 θ$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d θ} [7 θ]$

단계 2.3.1.1.2.2

$\csc (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ 입니다.

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d θ} [7 θ]$

단계 2.3.1.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $7 θ$ 로 바꿉니다.

$- \csc (7 θ) \cot (7 θ) \frac{d}{d θ} [7 θ]$

단계 2.3.1.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.3.1

$7$ 은 $θ$ 에 대해 일정하므로 $θ$ 에 대한 $7 θ$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d θ} [θ]$ 입니다.

$- \csc (7 θ) \cot (7 θ) (7 \frac{d}{d θ} [θ])$

단계 2.3.1.1.3.2

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

단계 2.3.1.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ 는 $n θ^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ) \cdot 1$

단계 2.3.1.1.3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.3.4.1

$- 7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ)$

단계 2.3.1.1.3.4.2

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- 7 \cot (7 θ) \csc (7 θ)$

단계 2.3.1.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$r + C_{1} = \int u_{2} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

단계 2.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$r + C_{1} = \int u_{2} (- \frac{1}{7}) d u_{2}$

단계 2.3.2.2

$u_{2}$ 와 $\frac{1}{7}$ 을 묶습니다.

$r + C_{1} = \int - \frac{u_{2}}{7} d u_{2}$

단계 2.3.3

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$r + C_{1} = - \int \frac{u_{2}}{7} d u_{2}$

단계 2.3.4

$\frac{1}{7}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{7}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$r + C_{1} = - (\frac{1}{7} \int u_{2} d u_{2})$

단계 2.3.5

멱의 법칙에 의해 $u_{2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 가 됩니다.

$r + C_{1} = - \frac{1}{7} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

$- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$ 을 $- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$r + C_{1} = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

단계 2.3.6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{7}$ 을 곱합니다.

$r + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 7} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

단계 2.3.6.2.2

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$r + C_{1} = - \frac{1}{14} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

단계 2.3.7

$u_{2}$ 를 모두 $\csc (7 θ)$ 로 바꿉니다.

$r + C_{1} = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$ 에서 $θ$ 에 $\frac{π}{4}$ 을, $r$ 에 $3$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$3 = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 \frac{π}{4}) + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (7 (\frac{π}{4})) + K = 3$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (7 (\frac{π}{4})) + K = 3$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$7$ 와 $\frac{π}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (\frac{7 π}{4}) + K = 3$

단계 4.2.1.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 코시컨트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$- \frac{1}{14} \cdot {(- \csc (\frac{π}{4}))}^{2} + K = 3$

단계 4.2.1.3

$\csc (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\sqrt{2}$ 입니다.

$- \frac{1}{14} \cdot {(- \sqrt{2})}^{2} + K = 3$

단계 4.2.1.4

$- \sqrt{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{14} \cdot ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + K = 3$

단계 4.2.1.5

지수를 더하여 $- 1$ 에 ${(- 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.1.5.1

${(- 1)}^{2}$ 를 옮깁니다.

${(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

단계 4.2.1.5.2

${(- 1)}^{2}$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.5.2.1

$- 1$ 를 $1$ 승 합니다.

${(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

단계 4.2.1.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

${(- 1)}^{2 + 1} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

단계 4.2.1.5.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

${(- 1)}^{3} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

단계 4.2.1.6

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

단계 4.2.1.7

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.2.1.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \frac{1}{14} \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + K = 3$

단계 4.2.1.7.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + K = 3$

단계 4.2.1.7.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + K = 3$

단계 4.2.1.7.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + K = 3$

단계 4.2.1.7.4.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{1} + K = 3$

단계 4.2.1.7.5

지수값을 계산합니다.

$- \frac{1}{14} \cdot 2 + K = 3$

단계 4.2.1.8

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.8.1

$- \frac{1}{14}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{14} \cdot 2 + K = 3$

단계 4.2.1.8.2

$14$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1}{2 (7)} \cdot 2 + K = 3$

단계 4.2.1.8.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{2 \cdot 7} \cdot 2 + K = 3$

단계 4.2.1.8.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{7} + K = 3$

단계 4.2.1.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{7} + K = 3$

단계 4.3

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 4.3.1

방정식의 양변에 $\frac{1}{7}$ 를 더합니다.

$K = 3 + \frac{1}{7}$

단계 4.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{7}{7}$ 을 곱합니다.

$K = 3 \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7}$

단계 4.3.3

$3$ 와 $\frac{7}{7}$ 을 묶습니다.

$K = \frac{3 \cdot 7}{7} + \frac{1}{7}$

단계 4.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$K = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7}$

단계 4.3.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1

$3$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$K = \frac{21 + 1}{7}$

단계 4.3.5.2

$21$ 를 $1$ 에 더합니다.

$K = \frac{22}{7}$

단계 5

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$ 의 $K$ 에 $\frac{22}{7}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$K$ 에 $\frac{22}{7}$ 를 대입합니다.

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + \frac{22}{7}$

단계 5.2

$\csc^{2} (7 θ)$ 와 $\frac{1}{14}$ 을 묶습니다.

$r = - \frac{\csc^{2} (7 θ)}{14} + \frac{22}{7}$