미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + x y = 6 x \sqrt{y}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{y}$ 을(를) $y^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} + x y = 6 x y^{\frac{1}{2}}$

단계 2

미분 방정식을 풀려면 $y^{\frac{1}{2}}$ 의 지수가 $n$ 일 때 $v = y^{1 - n}$ 로 둡니다.

$v = y^{\frac{1}{2}}$

단계 3

$y$ 에 대해 식을 풉니다.

$y = v^{2}$

단계 4

$x$ 에 대해 $y$ 의 도함수를 구합니다.

$y' = v^{2}$

단계 5

$x$ 에 대해 $v^{2}$ 의 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$v^{2}$ 도함수를 구합니다.

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

단계 5.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = v$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $v$ 로 바꿉니다.

$y' = \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

단계 5.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y' = 2 u_{1} \frac{d}{d x} [v]$

단계 5.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $v$ 로 바꿉니다.

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

단계 5.3

$\frac{d}{d x} [v]$ 을 $v'$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = 2 v v'$

단계 6

원래 방정식 $\frac{d y}{d x} + x y = 6 x y^{\frac{1}{2}}$ 에서 $\frac{d y}{d x}$ 은 $2 v v'$ 으로, $y$ 은 $v^{2}$ 로 치환합니다.

$2 v v' + x v^{2} = 6 x {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

단계 7

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$\frac{d v}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.1

$6 x {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.1.1

${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{2 (\frac{1}{2})}$

단계 7.1.1.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{2 (\frac{1}{2})}$

단계 7.1.1.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{1}$

단계 7.1.1.1.2

간단히 합니다.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v$

단계 7.1.1.2

방정식의 양변에서 $x v^{2}$ 를 뺍니다.

$2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$

단계 7.1.1.3

$2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$ 의 각 항을 $2 v$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.1

$2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$ 의 각 항을 $2 v$ 로 나눕니다.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

단계 7.1.1.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

단계 7.1.1.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

단계 7.1.1.3.2.2

$v$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

단계 7.1.1.3.2.2.2

$\frac{d v}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d v}{d x} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

단계 7.1.1.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.3.1.1

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.3.1.1.1

$6 x v$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

단계 7.1.1.3.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.3.1.1.2.1

$2 v$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 (v)} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

단계 7.1.1.3.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

단계 7.1.1.3.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 x v}{v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

단계 7.1.1.3.3.1.2

$v$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 x v}{v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

단계 7.1.1.3.3.1.2.2

$3 x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

단계 7.1.1.3.3.1.3

$v^{2}$ 및 $v$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.3.1.3.1

$- x v^{2}$ 에서 $v$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{2 v}$

단계 7.1.1.3.3.1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.3.1.3.2.1

$2 v$ 에서 $v$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{v \cdot 2}$

단계 7.1.1.3.3.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{v \cdot 2}$

단계 7.1.1.3.3.1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{- x v}{2}$

단계 7.1.1.3.3.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d v}{d x} = 3 x - \frac{x v}{2}$

단계 7.1.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1

$3 x - \frac{x v}{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1.1

$3 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d x} = x \cdot 3 - \frac{x v}{2}$

단계 7.1.2.1.2

$- \frac{x v}{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d x} = x \cdot 3 + x (- \frac{v}{2})$

단계 7.1.2.1.3

$x \cdot 3 + x (- \frac{v}{2})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d x} = x (3 - \frac{v}{2})$

단계 7.1.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} = x (3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{v}{2})$

단계 7.1.2.3

$3$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} = x (\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{v}{2})$

단계 7.1.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} = x \frac{3 \cdot 2 - v}{2}$

단계 7.1.2.5

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} = x \frac{6 - v}{2}$

단계 7.1.3

양변에 $\frac{2}{6 - v}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} (x \frac{6 - v}{2})$

단계 7.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.4.1

$x$ 와 $\frac{6 - v}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} \cdot \frac{x (6 - v)}{2}$

단계 7.1.4.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} \cdot \frac{x (6 - v)}{2}$

단계 7.1.4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} (x (6 - v))$

단계 7.1.4.3

$6 - v$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.4.3.1

$x (6 - v)$ 에서 $6 - v$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} ((6 - v) x)$

단계 7.1.4.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} ((6 - v) x)$

단계 7.1.4.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = x$

단계 7.1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{6 - v} d v = x d x$

단계 7.2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{2}{6 - v} d v = \int x d x$

단계 7.2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$2$ 은 $v$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \frac{1}{6 - v} d v = \int x d x$

단계 7.2.2.2

먼저 $u_{2} = 6 - v$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - d v$ 이므로 $- d u_{2} = d v$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.2.1

$u_{2} = 6 - v$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d v}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.2.1.1

다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1}$

단계 7.2.2.2.1.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1$

단계 7.2.2.2.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

단계 7.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

단계 7.2.2.4

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int x d x$

단계 7.2.2.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

단계 7.2.2.6

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$- 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int x d x$

단계 7.2.2.7

간단히 합니다.

$- 2 \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int x d x$

단계 7.2.2.8

$u_{2}$ 를 모두 $6 - v$ 로 바꿉니다.

$- 2 \ln (| 6 - v |) + C_{1} = \int x d x$

단계 7.2.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$- 2 \ln (| 6 - v |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

단계 7.2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 7.3

$v$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1

$- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 \ln (| 6 - v |)}{- 2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

단계 7.3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 \ln (| 6 - v |)}{- 2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

단계 7.3.1.2.1.2

$\ln (| 6 - v |)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| 6 - v |) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

단계 7.3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.3.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\ln (| 6 - v |) = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

단계 7.3.1.3.1.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

단계 7.3.1.3.1.3

조합합니다.

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 \cdot - 2} + \frac{C}{- 2}$

단계 7.3.1.3.1.4

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{2 \cdot - 2} + \frac{C}{- 2}$

단계 7.3.1.3.1.5

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{C}{- 2}$

단계 7.3.1.3.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{C}{- 2}$

단계 7.3.1.3.1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}$

단계 7.3.2

$v$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| 6 - v |)} = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

단계 7.3.3

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} = | 6 - v |$

단계 7.3.4

$v$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.4.1

$| 6 - v | = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| 6 - v | = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

단계 7.3.4.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$6 - v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

단계 7.3.4.3

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$

단계 7.3.4.4

$- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.4.4.1

$- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- v}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

단계 7.3.4.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.4.4.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{v}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

단계 7.3.4.4.2.2

$v$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$v = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

단계 7.3.4.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.4.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.4.4.3.1.1

$\frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$v = - 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + \frac{- 6}{- 1}$

단계 7.3.4.4.3.1.2

$- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}})$ 을 $- (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}})$ 로 바꿔 씁니다.

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + \frac{- 6}{- 1}$

단계 7.3.4.4.3.1.3

$- 6$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + 6$

단계 7.4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} + C}) + 6$

단계 7.4.2

$e^{- \frac{x^{2}}{4} + C}$ 을 $e^{- \frac{x^{2}}{4}} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4}} e^{C}) + 6$

단계 7.4.3

$e^{- \frac{x^{2}}{4}}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$v = - (\pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$

단계 7.4.4

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$v = - (C e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$

단계 8

$v$ 에 $y^{\frac{1}{2}}$ 를 대입합니다.

$y^{\frac{1}{2}} = - (C e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$