미적분 예제

$y e^{y} d y = - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

단계 1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y e^{y} d y = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

단계 2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.1

$u = y$ 이고 $d v = e^{y}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$y e^{y} - \int e^{y} d y = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

단계 2.2

$e^{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $e^{y}$ 입니다.

$y e^{y} - (e^{y} + C_{1}) = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

단계 2.3

간단히 합니다.

$y e^{y} - e^{y} + C_{1} = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

단계 2.4

항을 다시 정렬합니다.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

단계 3

우변을 적분합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

단계 3.2

$x^{2} + 1$ 을 $x$ 로 나눕니다.

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단계 3.2.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

단계 3.2.2

피제수 $x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

단계 3.2.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

단계 3.2.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{2} + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

단계 3.2.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

단계 3.2.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

단계 3.2.7

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int x + \frac{1}{x} d x$

단계 3.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\int x d x + \int \frac{1}{x} d x)$

단계 3.4

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x)$

단계 3.5

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

단계 3.6

간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

단계 3.6.2

간단히 합니다.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C_{4}$

단계 4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$e^{y} y - e^{y} = - (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C$