미적분 예제

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \cos^{2} (x)$

단계 1

방정식 좌변이 $x^{2} y$ 항의 도함수 결과값인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} y' + y (2 x)$

단계 1.4

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

단계 1.5

괄호를 제거합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

단계 1.6

$y$ 를 옮깁니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

단계 2

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \cos^{2} (x)$

단계 3

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \cos^{2} (x) d x$

단계 4

좌변을 적분합니다.

$x^{2} y = \int \cos^{2} (x) d x$

단계 5

우변을 적분합니다.

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단계 5.1

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (x)$ 를 $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} y = \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

단계 5.2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x^{2} y = \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

단계 5.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

단계 5.4

상수 규칙을 적용합니다.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

단계 5.5

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.5.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.5.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 5.5.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 5.5.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 5.5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

단계 5.6

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

단계 5.7

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

단계 5.8

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

단계 5.9

간단히 합니다.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

단계 5.10

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

단계 5.11

간단히 합니다.

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단계 5.11.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (2 x)$ 을 묶습니다.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

단계 5.11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 5.11.3

$\frac{1}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 5.11.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.4.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{\sin (2 x)}{2}$ 을 곱합니다.

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

단계 5.11.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

단계 5.12

항을 다시 정렬합니다.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

단계 6

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1.1

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.1.1.1

$\frac{1}{2} x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.3.1.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.3.1.3

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.3.1.4

$\frac{1}{4}$ 와 $\sin (2 x)$ 을 묶습니다.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{\sin (2 x)}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.3.1.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x)}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.3.1.6

조합합니다.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x) \cdot 1}{4 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.3.1.7

$\sin (2 x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x)}{4 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$