미적분 예제

$(2 x y) d x + (x^{2} - 1) d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $2 x y d x$ 를 뺍니다.

$(x^{2} - 1) d y = - 2 x y d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{(x^{2} - 1) y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(x^{2} - 1) y} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x^{2} - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$(x^{2} - 1) y$ 에서 $x^{2} - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y)} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

단계 3.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{(x^{2} - 1) y} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

단계 3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (x y) d x$

단계 3.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x^{2} - 1^{2}) y} (x y) d x$

단계 3.3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x + 1) (x - 1) y} (x y) d x$

단계 3.4

$- 2$ 와 $\frac{1}{(x + 1) (x - 1) y}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{(x + 1) (x - 1) y} (x y) d x$

단계 3.5

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$(x + 1) (x - 1) y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y ((x + 1) (x - 1))} (x y) d x$

단계 3.5.2

$x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y ((x + 1) (x - 1))} (y x) d x$

단계 3.5.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y ((x + 1) (x - 1))} (y x) d x$

단계 3.5.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)} x d x$

단계 3.6

$\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x)$

단계 4.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.3.4

먼저 $u = (x + 1) (x - 1)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

$u = (x + 1) (x - 1)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1.1

$(x + 1) (x - 1)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

단계 4.3.4.1.2

$f (x) = x + 1$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 4.3.4.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1.3.1

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 4.3.4.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 4.3.4.1.3.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 4.3.4.1.3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 4.3.4.1.3.4.2

$x + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 4.3.4.1.3.5

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 4.3.4.1.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 4.3.4.1.3.7

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

단계 4.3.4.1.3.8

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1.3.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

단계 4.3.4.1.3.8.2

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x + 1 + x - 1$

단계 4.3.4.1.3.8.3

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$2 x + 1 - 1$

단계 4.3.4.1.3.8.4

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1.3.8.4.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$2 x + 0$

단계 4.3.4.1.3.8.4.2

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 4.3.4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 4.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

단계 4.3.5.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

단계 4.3.6

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 4.3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.1

$\frac{1}{2}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

단계 4.3.7.2

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

단계 4.3.7.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

단계 4.3.7.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

단계 4.3.7.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

단계 4.3.7.2.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

단계 4.3.8

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

단계 4.3.9

간단히 합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

단계 4.3.10

$u$ 를 모두 $(x + 1) (x - 1)$ 로 바꿉니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y |) + \ln (| (x + 1) (x - 1) |) = C$

단계 5.2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| y | | (x + 1) (x - 1) |) = C$

단계 5.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 1) (x - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| y | | x (x - 1) + 1 (x - 1) |) = C$

단계 5.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| y | | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |) = C$

단계 5.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| y | | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

단계 5.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\ln (| y | | x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

단계 5.4.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\ln (| y | | x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

단계 5.4.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| y | | x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

단계 5.4.1.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y | | x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |) = C$

단계 5.4.1.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y | | x^{2} - x + x - 1 |) = C$

단계 5.4.2

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\ln (| y | | x^{2} + 0 - 1 |) = C$

단계 5.4.3

$x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\ln (| y | | x^{2} - 1 |) = C$

단계 5.5

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\ln (| y (x^{2} - 1) |) = C$

단계 5.6

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot - 1 |) = C$

단계 5.6.2

$y$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\ln (| y x^{2} - 1 \cdot y |) = C$

단계 5.7

$- 1 y$ 을 $- y$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| y x^{2} - y |) = C$

단계 5.8

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y x^{2} - y |)} = e^{C}$

단계 5.9

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y x^{2} - y |) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = | y x^{2} - y |$

단계 5.10

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.1

$| y x^{2} - y | = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y x^{2} - y | = e^{C}$

단계 5.10.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y x^{2} - y = \pm e^{C}$

단계 5.10.3

$y x^{2} - y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.3.1

$y x^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x^{2}) - y = \pm e^{C}$

단계 5.10.3.2

$- y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x^{2}) + y \cdot - 1 = \pm e^{C}$

단계 5.10.3.3

$y (x^{2}) + y \cdot - 1$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x^{2} - 1) = \pm e^{C}$

단계 5.10.4

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y (x^{2} - 1^{2}) = \pm e^{C}$

단계 5.10.5

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.5.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$y ((x + 1) (x - 1)) = \pm e^{C}$

단계 5.10.5.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$y (x + 1) (x - 1) = \pm e^{C}$

단계 5.10.6

$y (x + 1) (x - 1) = \pm e^{C}$ 의 각 항을 $(x + 1) (x - 1)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.6.1

$y (x + 1) (x - 1) = \pm e^{C}$ 의 각 항을 $(x + 1) (x - 1)$ 로 나눕니다.

$\frac{y (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 5.10.6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.6.2.1

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 5.10.6.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 5.10.6.2.2

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.6.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 5.10.6.2.2.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 6

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{C}{(x + 1) (x - 1)}$