미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = e^{x} \sin (x) + x \cos (x)$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = (e^{x} \sin (x) + x \cos (x)) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int e^{x} \sin (x) + x \cos (x) d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int e^{x} \sin (x) + x \cos (x) d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{1} = \int e^{x} \sin (x) d x + \int x \cos (x) d x$

단계 2.3.2

$e^{x}$ 와 $\sin (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$y + C_{1} = \int \sin (x) e^{x} d x + \int x \cos (x) d x$

단계 2.3.3

$u = \sin (x)$ 이고 $d v = e^{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x + \int x \cos (x) d x$

단계 2.3.4

$e^{x}$ 와 $\cos (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x + \int x \cos (x) d x$

단계 2.3.5

$u = \cos (x)$ 이고 $d v = e^{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

단계 2.3.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

단계 2.3.7

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

단계 2.3.7.2

$\int e^{x} (\sin (x)) d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

단계 2.3.7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x + \int x \cos (x) d x$

단계 2.3.8

$\int e^{x} \sin (x) d x$ 을 풀면 $\int e^{x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ 입니다.

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C_{2} + \int x \cos (x) d x$

단계 2.3.9

$u = x$ 이고 $d v = \cos (x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C_{2} + x \sin (x) - \int \sin (x) d x$

단계 2.3.10

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \cos (x)$ 입니다.

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C_{2} + x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{3})$

단계 2.3.11

간단히 합니다.

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단계 2.3.11.1

간단히 합니다.

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단계 2.3.11.1.1

$\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2}$ 를 $x \sin (x)$ 에 더합니다.

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단계 2.3.11.1.1.1

$\cos (x)$ 를 옮깁니다.

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{3})$

단계 2.3.11.1.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $x \sin (x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + x \sin (x) \cdot \frac{2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

단계 2.3.11.1.1.3

$x \sin (x)$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + \frac{x \sin (x) \cdot 2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

단계 2.3.11.1.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + x \sin (x) \cdot 2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

단계 2.3.11.1.2

$x \sin (x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

단계 2.3.11.2

간단히 합니다.

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \cos (x) + C_{4}$

단계 2.3.11.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.11.3.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\cos (x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \cos (x) \cdot \frac{2}{2} + C_{4}$

단계 2.3.11.3.2

$\cos (x)$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \cdot 2}{2} + C_{4}$

단계 2.3.11.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x) \cdot 2}{2} + C_{4}$

단계 2.3.11.3.4

$\cos (x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{2} + C_{4}$

단계 2.3.11.4

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = \frac{1}{2} (e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + K$