미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + 6 y + \ln (x) = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $\ln (x)$ 를 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} + 6 y = - \ln (x)$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = 6$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int 6 d x}$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{6 x + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{6 x}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $e^{6 x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $e^{6 x}$ 을 곱합니다.

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + e^{6 x} (6 y) = e^{6 x} (- \ln (x))$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 e^{6 x} y = e^{6 x} (- \ln (x))$

단계 3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 e^{6 x} y = - e^{6 x} \ln (x)$

단계 3.4

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 e^{6 x} y = - e^{6 x} \ln (x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 y e^{6 x} = - e^{6 x} \ln (x)$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{6 x} y] = - e^{6 x} \ln (x)$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{6 x} y] d x = \int - e^{6 x} \ln (x) d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$e^{6 x} y = \int - e^{6 x} \ln (x) d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{6 x} y = - \int e^{6 x} \ln (x) d x$

단계 7.2

$u = \ln (x)$ 이고 $d v = e^{6 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{6 x} y = - (\ln (x) (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} \frac{1}{x} d x)$

단계 7.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$\frac{1}{6}$ 와 $e^{6 x}$ 을 묶습니다.

$e^{6 x} y = - (\ln (x) \frac{e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} \frac{1}{x} d x)$

단계 7.3.2

$\ln (x)$ 와 $\frac{e^{6 x}}{6}$ 을 묶습니다.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} \frac{1}{x} d x)$

단계 7.3.3

$\frac{1}{6}$ 와 $e^{6 x}$ 을 묶습니다.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \int \frac{e^{6 x}}{6} \cdot \frac{1}{x} d x)$

단계 7.3.4

$\frac{e^{6 x}}{6}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \int \frac{e^{6 x}}{6 x} d x)$

단계 7.4

$\frac{1}{6}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{6}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{e^{6 x}}{x} d x))$

단계 7.5

먼저 $u = 6 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 6 d x$ 이므로 $\frac{1}{6} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

$u = 6 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1.1

$6 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [6 x]$

단계 7.5.1.2

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \cdot 1$

단계 7.5.1.4

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6$

단계 7.5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{\frac{u}{6}} \cdot \frac{1}{6} d u)$

단계 7.6

간단히 합니다.

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단계 7.6.1

$\frac{u}{6}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{6}{u} \frac{1}{6} d u)$

단계 7.6.2

$e^{u}$ 와 $\frac{6}{u}$ 을 묶습니다.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u} \cdot 6}{u} \cdot \frac{1}{6} d u)$

단계 7.6.3

$e^{u}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 \cdot e^{u}}{u} \cdot \frac{1}{6} d u)$

단계 7.6.4

$\frac{6 e^{u}}{u}$ 에 $\frac{1}{6}$ 을 곱합니다.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 e^{u}}{u \cdot 6} d u)$

단계 7.6.5

$u$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 e^{u}}{6 \cdot u} d u)$

단계 7.6.6

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.6.1

공약수로 약분합니다.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 e^{u}}{6 u} d u)$

단계 7.6.6.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{u} d u)$

단계 7.7

$\int \frac{e^{u}}{u} d u$ 은 특수한 적분입니다. 해당 적분은 지수적분함수입니다.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (E i (u) + C))$

단계 7.8

$- (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (E i (u) + C))$ 을 $- (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{E i (u)}{6}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{6 x} y = - (\frac{1}{6} \ln (x) e^{6 x} - \frac{E i (u)}{6}) + C$

단계 8

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 8.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$\frac{1}{6} (\ln (x) e^{6 x})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1.1

$\ln (x)$ 와 $\frac{1}{6}$ 을 묶습니다.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x)}{6} e^{6 x} - \frac{E i (u)}{6}) + C$

단계 8.1.1.2

$\frac{\ln (x)}{6}$ 와 $e^{6 x}$ 을 묶습니다.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{E i (u)}{6}) + C$

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{E i u}{6}) + C$

단계 8.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{6 x} y = - \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - - \frac{E i u}{6} + C$

단계 8.1.3

$- - \frac{E i u}{6}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{6 x} y = - \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} + 1 \frac{E i u}{6} + C$

단계 8.1.3.2

$\frac{E i u}{6}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{6 x} y = - \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} + \frac{E i u}{6} + C$

단계 8.1.4

$- \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} + \frac{E i u}{6}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{6 x} y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} + \frac{E i u}{6} + C$

단계 8.2

$e^{6 x} y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} + \frac{E i u}{6} + C$ 의 각 항을 $e^{6 x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$e^{6 x} y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} + \frac{E i u}{6} + C$ 의 각 항을 $e^{6 x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{6 x} y}{e^{6 x}} = \frac{- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

단계 8.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$e^{6 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{6 x} y}{e^{6 x}} = \frac{- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

단계 8.2.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

단계 8.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

단계 8.2.3.1.2

$e^{6 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1.2.1

$- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y = \frac{- e^{6 x} \ln (x)}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

단계 8.2.3.1.2.2

$- e^{6 x} \ln (x)$ 에서 $e^{6 x}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{e^{6 x} (- 1 \ln (x))}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

단계 8.2.3.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{e^{6 x} (- 1 \ln (x))}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

단계 8.2.3.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{- 1 \ln (x)}{6} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

단계 8.2.3.1.3

$\frac{- 1 \ln (x)}{6}$ 을 $\frac{- 1}{6} \ln (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 1}{6} \ln (x) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

단계 8.2.3.1.4

$- \frac{- 1}{6}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{- 1}{6} \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$y = - \ln (x^{- \frac{- 1}{6}}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

단계 8.2.3.1.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \ln (x^{- - \frac{1}{6}}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

단계 8.2.3.1.6

$- - \frac{1}{6}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1.6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = - \ln (x^{1 (\frac{1}{6})}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

단계 8.2.3.1.6.2

$\frac{1}{6}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

단계 8.2.3.1.7

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{E i u}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

단계 8.2.3.1.8

조합합니다.

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{E i u \cdot 1}{6 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

단계 8.2.3.1.9

$E$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{E i u}{6 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$