미적분 예제

$y d y - (2 x y + x) d x = 0$

단계 1

완전미분 방정식 해법에 맞도록 미분 방정식을 다시 작성합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다시 씁니다.

$- (2 x y + x) d x + y d y = 0$

단계 2

$M (x, y) = - (2 x y + x)$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (2 x y + x)]$

단계 2.2

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- (2 x y + x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [2 x y + x]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [2 x y + x]$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $2 x y + x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [x])$

단계 2.4

$2 x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 x y$ 의 미분은 $2 x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x])$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x])$

단계 2.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + \frac{d}{d y} [x])$

단계 2.7

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + 0)$

단계 2.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x)$

단계 2.8.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x$

단계 3

$N (x, y) = y$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2

$y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

단계 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- 2 x$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$- 2 x = 0$

단계 4.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$- 2 x = 0$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 5

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 5.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- 2 x$ 를 대입합니다.

$\frac{0 - (- 2 x)}{M}$

단계 5.3

$M$ 에 $- (2 x y + x)$ 를 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$M$ 에 $- (2 x y + x)$ 를 대입합니다.

$\frac{0 - (- 2 x)}{- (2 x y + x)}$

단계 5.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{0 + 2 x}{- (2 x y + x)}$

단계 5.3.2.2

$0$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{2 x}{- (2 x y + x)}$

단계 5.3.3

$2 x y + x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$2 x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x)}$

단계 5.3.3.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x^{1})}$

단계 5.3.3.3

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x \cdot 1)}$

단계 5.3.3.4

$x (2 y) + x \cdot 1$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x}{- (x (2 y + 1))}$

$\frac{2 x}{- x (2 y + 1)}$

단계 5.3.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{- x (2 y + 1)}$

단계 5.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{- (2 y + 1)}$

단계 5.3.5

$M$ 에 $- (2 x y + x)$ 를 대입합니다.

$- \frac{2}{2 y + 1}$

단계 5.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{2 y + 1} d y}$

단계 6

적분 $e^{\int - \frac{2}{2 y + 1} d y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{2 y + 1} d y}$

단계 6.2

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{2 y + 1} d y)}$

단계 6.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 y + 1} d y}$

단계 6.4

먼저 $u = 2 y + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d y$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$u = 2 y + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1.1

$2 y + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

단계 6.4.1.2

합의 법칙에 의해 $2 y + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 6.4.1.3

$\frac{d}{d y} [2 y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1.3.1

$2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 y$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 6.4.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

단계 6.4.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

단계 6.4.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1.4.1

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 + 0$

단계 6.4.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 6.4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

단계 6.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

단계 6.5.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

단계 6.6

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

단계 6.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.1

$\frac{1}{2}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

단계 6.7.2

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

단계 6.7.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

단계 6.7.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

단계 6.7.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

단계 6.7.2.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

단계 6.8

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

단계 6.9

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

단계 6.10

$u$ 를 모두 $2 y + 1$ 로 바꿉니다.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 2 y + 1 |)} + C$

단계 6.11

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.11.1

$- 1$ 를 로그 안으로 옮겨 $- \ln (| 2 y + 1 |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 2 y + 1 |}^{- 1})} + C$

단계 6.11.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| 2 y + 1 |}^{- 1} + C$

단계 6.11.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{| 2 y + 1 |} + C$

단계 7

$- (2 x y + x) d x + y d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{2 y + 1}$ 를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$- (2 x y + x)$ 에 $\frac{1}{2 y + 1}$ 을 곱합니다.

$- (2 x y + x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(- (2 x y) - x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

단계 7.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(- 2 (x y) - x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

단계 7.4

$- 2 x y - x$ 에 $\frac{1}{2 y + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x y - x}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

단계 7.5

$- 2 x y - x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

$- 2 x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- 2 y) - x}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

단계 7.5.2

$- x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- 2 y) + x \cdot - 1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

단계 7.5.3

$x (- 2 y) + x \cdot - 1$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- 2 y - 1)}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

단계 7.6

$- 2 y - 1$ 및 $2 y + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.1

$- 2 y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- (2 y) - 1)}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

단계 7.6.2

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x (- (2 y) - 1 (1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

단계 7.6.3

$- (2 y) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

단계 7.6.4

$- (2 y + 1)$ 을 $- 1 (2 y + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x (- 1 (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

단계 7.6.5

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (- 1 (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

단계 7.6.6

$x \cdot (- 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x \cdot (- 1) d x + y d y = 0$

단계 7.7

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$- 1 x d x + y d y = 0$

단계 7.8

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$- x d x + y d y = 0$

단계 7.9

$y$ 에 $\frac{1}{2 y + 1}$ 을 곱합니다.

$- x d x + y \frac{1}{2 y + 1} d y = 0$

단계 7.10

$y$ 와 $\frac{1}{2 y + 1}$ 을 묶습니다.

$- x d x + \frac{y}{2 y + 1} d y = 0$

단계 8

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int - x d x$

단계 9

$M (x, y) = - x$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = - \int x d x$

단계 9.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

단계 9.3

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 을 $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 10

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{2 y + 1}$

단계 12

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

단계 12.2

합의 법칙에 의해 $- \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

단계 12.3

$- \frac{1}{2} x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- \frac{1}{2} x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- \frac{1}{2} x^{2}$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

단계 12.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$

단계 12.5

$0$ 를 $\frac{d g}{d y}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$

단계 13

$\frac{y}{2 y + 1}$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y}{2 y + 1} d y$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int \frac{y}{2 y + 1} d y$

단계 13.3

$y$ 을 $2 y + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$2 y$

$1$

$y$

$0$

단계 13.3.2

피제수 $y$ 의 고차항을 제수 $2 y$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$\frac{1}{2}$
	$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$

단계 13.3.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$\frac{1}{2}$

단계 13.3.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $y + \frac{1}{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{2}$

단계 13.3.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{2}$
					-	$\frac{1}{2}$

단계 13.3.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$g (y) = \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

단계 13.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$g (y) = \int \frac{1}{2} d y + \int - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

단계 13.5

상수 규칙을 적용합니다.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C + \int - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

단계 13.6

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \int \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

단계 13.7

$\frac{1}{2}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 y + 1} d y)$

단계 13.8

괄호를 제거합니다.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 y + 1} d y$

단계 13.9

먼저 $u = 2 y + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d y$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.9.1

$u = 2 y + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.9.1.1

$2 y + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

단계 13.9.1.2

합의 법칙에 의해 $2 y + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 13.9.1.3

$\frac{d}{d y} [2 y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.9.1.3.1

$2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 y$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 13.9.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

단계 13.9.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

단계 13.9.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.9.1.4.1

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 + 0$

단계 13.9.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 13.9.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 13.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.10.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

단계 13.10.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

단계 13.10.3

$2$ 에 $u$ 을 곱합니다.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u$

단계 13.11

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 13.12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.12.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

단계 13.12.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

단계 13.13

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

단계 13.14

간단히 합니다.

$g (y) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

단계 13.15

$u$ 를 모두 $2 y + 1$ 로 바꿉니다.

$g (y) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

단계 14

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

단계 15

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$ 을 간단히 합니다.

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단계 15.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 15.1.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

단계 15.1.2

$\frac{1}{2}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

단계 15.1.3

$- \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)$ 을 곱합니다.

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단계 15.1.3.1

$\ln (| 2 y + 1 |)$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - (\frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)) + C$

단계 15.1.3.2

$\frac{1}{4}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)$ 을 간단히 합니다.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + C$

단계 15.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{y}{2} - \frac{x^{2}}{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

단계 15.3

$- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + C$

단계 15.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + C$

단계 15.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 15.5.1

$- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2$ 을 곱합니다.

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단계 15.5.1.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - 2 \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}{2} + C$

단계 15.5.1.2

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ 을 간단히 합니다.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2})}{2} + C$

단계 15.5.2

${({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 15.5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4} \cdot 2})}{2} + C$

단계 15.5.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 15.5.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2})}{2} + C$

단계 15.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2})}{2} + C$

단계 15.5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$